设 时刻河水中污染物的浓度为，如果反映某江河自然净化能力的降解系数为
（即单位时间内可将污染物的浓度降低倍）
河水污染，则经过t )(t N )10(<<k k k t ∆时刻后，污染物浓度的改变量 t kN N ∆⋅−=∆ ， 从而有
kN t
N −=∆∆ 令，即得微分方程
0→∆t kN dt
dN −= 显然，这是一个典型的增长模型，易求得该方程的通解为
t k Ce t N −=)(
其中的与是待定的两个参数。下面，我们就以长江水质变化的部分数据为例来说明这两个参数的确定方法。
C k 通常情况下，我们可以认为长江干流的自然净化能力是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5
(单位：1/天)之间。根据《长江年鉴》中公布的相关资料，2005年9月长江中游两个观测点氨氮浓度的测量数据如下：
湖南岳阳城陵矶 江西九江河西水厂
)/(41.0L mg )/(06.0L mg 已知从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂的长江河段全长500 km ，该河段长江水的平均流速为0.6 m/s 。如果我们把江水流经湖南岳阳城陵矶观测点的时间设定为，则江水到达江西九江河西水厂观测点所需要的时间为 00=t 6451.924
36006.050010001≈×××=t （天） 于是，我们得到了上述微分方程满足的两个定解条件
41.0)0(=N （1）
06.0)6451.9(=N （2）
将条件（1）代入通解，可求得，从而原方程满足条件（1）的特解为
41.0=C t k e t N −=41.0)(
再利用条件（2），将06.0,6451.9==N t 代入上式，即可求得降解系数
2.0199
3.006
.041.0ln 6451.91≈≈=k 至此，我们一方面得到了近似描述长江干流污染物浓度在自然净化作用下随时间变化所遵循的规律是
t e t N 2.041.0)(−=
另一方面，我们还可以根据计算结果，初步判断该河段长江水质受污染的程度。假如长江干流氨氮降解系数的自然值是0.3 ，而我们根据现有资料计算的结果只有0.2 ，就说明除了上游的污水之外，该河段必存在另外的污染源，这就为进一步的治理提供了理论上的依据。（注：本问题为2005年全国大学生数学建模竞赛试题）
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