强基计划㊀你准备好了吗
甘志国
北大自主招生
(北京市丰台二中㊀１０００７１)
摘㊀要：强基计划的前身是大学自主招生ꎬ文章对强基计划及其数学试题的特点给予了详细介绍.关键词：强基计划ꎻ大学自主招生ꎻ强基计划数学试题的特点ꎻ序
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００５１－０７
收稿日期:２０２０－０８－０５
作者简介：甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
基金项目：本文系北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人：甘志国)阶段性研究成果之一.
㊀㊀
一㊁强基计划介绍
强基计划的前身是大学自主招生(下简称自主
招生).㊀
自主招生是我国高校统一考试招生制度的重要补充ꎬ也是对学生多元录取㊁综合评价的重要组成部分.据统计显示ꎬ２０１８年清华北大自主招生㊁综合评价㊁高校专项获得降分的总人数ꎬ达到了惊人的６１００人ꎬ占其计划招生总数６７００人的９１％ꎬ详见下表:
２０１８年清华北大获得降分人数汇总
降分类型清华大学北京大学合计自主招生９４９８５５１８０４领军计划/博雅计划１８２５１５５９３３８４自强计划/筑梦计划４７９４６６９４５获得降分总人数３２５３２８８０６１３３预计计划招生总人数３４００３３００６７００获得降分人数所占比例
９５.６８％
８７.２７％
９１.５４％
㊀㊀从上面的数据可以看出自主招生在扮演非常重要的角ꎬ仅凭裸分考进清华和北大的学生比例已经很低了.
２０２０年１月１４日ꎬ教育部以教学 ２０２０ １号文件印
发«关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见».文件指出ꎬ决定自２０２０年起ꎬ在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划).同时ꎬ在部分 一流大学 建设高校范围内遴选高校开展试点.教育部将按照 一校一策 (着重号为笔者所加)的原则ꎬ研究确定强基计划招生高校㊁专业和规模.从２０２０年起ꎬ不再组织开展高校自主招生工作.
㊀㊀
二㊁强基计划考试介绍
很多考生对强基计划试题的难度不太了解ꎬ这里做
一个粗略的对比.各科综合起来的大致情况是ꎬ高考的中档题相当于强基计划简单题ꎬ高考难题相当于强基计划中档题也相当于竞赛简单题ꎬ强基计划难题相当于竞赛中档题.
可以说ꎬ名校强基计划６５％的题在课内范围ꎬ３５％的题是超纲范围(是竞赛题难度ꎬ甚至有的题目超过联赛一试).㊀
所以ꎬ有人说强基计划试题的难度介于高考和竞赛之间是有道理的.
较为细致的来说ꎬ也可以把强基计划试题分为下面三部分:
１.有的题是课内常见的.这类题检查同学们学习基础情况ꎬ一般熟练掌握高考内容的同学都能比较容易拿到分.
２.有的题是在高考考纲边缘附近.这类题保留一定数量的高考核心考点ꎬ但着力点和区分度主要放在高考自然延伸出的一些知识和方法上.
３.有的题是超出高考考纲的.这类题涉及到课内没
学过的知识㊁公式(比如反三角函数㊁极限)ꎬ或者是竞赛联赛经典方法㊁技巧.
强基计划考试没有考纲ꎬ由大学教授㊁专家或数学界知名人士命题ꎬ所以有超纲内容是正常的(当然教授是有出题原则的：应当说ꎬ名校强基计划考试题都是好题ꎬ对普通高考和全国联赛的复习备考也有重要参考价值).
如果说笔试让名校间接认识了考生ꎬ那么面试则是二者的直接碰撞ꎬ能否擦出火花直接决定了强基计划考
１５
试的最终结果.因此ꎬ面试也是名校强基计划考试中十分重要的环节.㊀㊀
三㊁强基计划考试数学试题特点
目前ꎬ高中生在数学思维和数学素养方面表现出诸
多不足ꎬ比如思维广度不开阔ꎻ思路不清晰ꎬ对题目的分析不周全ꎬ难以准确识别模型以尽快将其转化为相应的数学问题ꎻ学生普遍知识面狭窄(如对复数等许多基本知识都不了解)ꎻ运算能力较低等等ꎻ尤其是创新意识和动手操作能力较差.
针对以上情形ꎬ强基计划试题便有如下特点.
１.强基计划数学试题突出考查考生的数学思维与数学素养
强基计划的目的是选拔顶尖的优秀人才ꎬ所以试题必然会突出这一特点ꎬ因为它是各种能力的核心.
题１㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)已知甲㊁乙㊁丙三人的职业是ＡꎬＢꎬＣ之一ꎬ且每
两个人的职业均不相同.若乙的年龄比Ｃ的年龄大ꎬ丙的年龄与Ｂ的年龄不同ꎬＢ的年龄比甲的年龄小ꎬ则甲㊁乙㊁丙三人的职业分别是(㊀㊀).
Ａ.ＡꎬＢꎬＣ㊀Ｂ.ＣꎬＡꎬＢ㊀Ｃ.ＣꎬＢꎬＡ㊀Ｄ.ＢꎬＣꎬＡ答案:Ａ.
题２㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)在小于１０００的正整数中ꎬ即不是５的倍数也不是７的倍数的整数个数是.
答案:６８６.
题３㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学
试题第７题)已知函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２
＋ｋ２
.若ａꎬｂꎬｃɪ
[０ꎬ１]ꎬｆ(ａ)ꎬｆ(ｂ)ꎬｆ(ｃ)是某个三角形的三边长ꎬ则ｋ的取值范围是.
答案:(－¥ꎬ－１)ɣ(１ꎬ＋¥).
注：题１考查逻辑知识(判断命题的真假)ꎬ题２的解法须用到韦恩图(即容斥原理)ꎬ解答题３要用到对恒成立问题的处理方法及二次函数在所给闭区间上的最值求法.这些知识㊁方法都是考生必备的数学素养.２.强基计划数学试题突出考查思维的广阔性(如发散思维)㊁深刻性与灵活性
题４㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为
单项选择题)ｘ２
＋
１ｘ＋ｙ３＋１
ｙæè
ç
öø
÷
１０
的展开式中的常数项为.
答案:１２６００.
题５㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第６题)
已知数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａ２＝４ꎬ且ａｎ２
－ａｎ－１ａｎ＋１＝２
ｎ－１
(ｎȡ２ꎬｎɪＮ∗)ꎬ求ａ２０２０的个位数.
解法１㊀先对ｎ用数学归纳法证明:ａｎ>０ꎬａｎ＋１>２
ａｎ＋(２)ｎ
(ｎɪＮ∗).
ｎ＝１时成立:ａ１＝１>０ꎬａ２＝４>２２＝２ａ１＋(２)１
.
假设ｎ＝ｋ时成立:ａｋ>０ꎬａｋ＋１>２ａｋ＋(２)ｋ
.可得ａｋ＋１>２ａｋ＋(２)ｋ
>(２)ｋ
>０.由题设ꎬ还可得ａｋ＋２
＝ａｋ＋１ａｋ＋１－２ｋａｋ>
ａｋ＋１[２ａｋ＋(２)ｋ
]－２ｋａｋ
＝２ａｋ＋１＋
(２)ｋ
ａｋ＋１－２ｋａｋ
>２ａｋ＋１
＋
(２)ｋ
[２ａｋ＋(２)ｋ
]－２ｋａｋ
＝２ａｋ＋１＋(２)ｋ＋１ꎬ
得ｎ＝ｋ＋１时成立ꎬ所以欲证结论成立.
由题设ꎬ可得
２ａ２ｎ－２ａｎ－１ａｎ＋１＝２ｎ＝ａ２
ｎ＋１－ａｎａｎ＋２(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ
ａｎ(２ａｎ＋ａｎ＋２)＝ａｎ＋１(２ａｎ－１＋ａｎ＋１)(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)①.因为前面已证得ａｎ>０(ｎɪＮ∗)ꎬ所以
２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１＝２ａｎ－１＋ａｎ＋１
ａｎ(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ
得数列
２ａｎ＋ａｎ＋２
ａｎ＋１
{
}
是常数列ꎬ因此２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１＝
２ａ１＋ａ３ａ２＝２ １＋１４４
＝４ꎬａｎ＋２＝４ａｎ＋１－２ａｎ(ｎɪＮ∗).进而可得数列
ａｎ(ｍｏｄ１０){}:１ꎬ４ꎬ４ꎬ８ꎬ４ꎬ０ꎬ２ꎬ８ꎬ８ꎬ６ꎬ８ꎬ０ꎬ４ꎬ６ꎬ６ꎬ２ꎬ
６ꎬ０ꎬ８ꎬ２ꎬ２ꎬ４ꎬ２ꎬ０ꎬ６ꎬ４ꎬ４ꎬ８ꎬ
所以ａｎ＋２４ʉａｎ(ｍｏｄ１０)(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ因而ａ２０２０＝ａ２４ ８４＋４ʉａ４＝４８ʉ８(ｍｏｄ１０)ꎬ得ａ２０２０的个位数是８.解法２㊀先对ｎ用数学归纳法证明:ａｎ＋２>ａｎ＋１>ａｎ>０ꎬａｎ＋２＝４ａｎ＋１－２ａｎ(ｎɪＮ∗).由ａ１＝１>０ꎬａ２＝４ꎬａ３＝１４ꎬ可得ｎ＝１时成立.
假设ｎ＝ｋ时成立:ａｋ＋２>ａｋ＋１>ａｋ>０ꎬａｋ＋２＝４ａｋ＋１－２ａｋ.
在解法１中得到的①式中ꎬ令ｎ＝ｋ＋１ꎬ可得ａｋ＋１(２ａｋ＋１＋ａｋ＋３)＝ａｋ＋２(２ａｋ＋ａｋ＋２)(ａｋ＋１>０)ꎬ所以
ａｋ＋３＝ａｋ＋２(２ａｋ＋ａｋ＋２)
ａｋ＋１
－２ａｋ＋１
＝
ａｋ＋２(２ａｋ＋４ａｋ＋１－２ａｋ)
ａｋ＋１
－２ａｋ＋１
＝４ａｋ＋２－２ａｋ＋１＝ａｋ＋２＋ａｋ＋２＋２(ａｋ＋２－ａｋ＋１)>ａｋ＋２ꎬ
ａｋ＋３>ａｋ＋２>ａｋ＋１>０ꎬ
所以ａｋ＋３>ａｋ＋２>ａｋ＋１>
０ꎬａｋ＋３＝４ａｋ＋２－２ａｋ＋１ꎬ得ｎ＝
ｋ＋１时成立ꎬ因而欲证结论成立.
２５
接下来的解法同解法１.
注：题４的解法是用二项展开式的通项解决四项展开式的通项问题ꎬ进而求出其常数项ꎬ充分考查了思维的广阔性㊁深刻性与灵活性.
在题５两种解法中ꎬ难点均是证明 ａｎʂ０(ｎɪＮ∗) .这
体现了思维的深刻性：蒙混过关是一定会丢分的.
３.许多强基计划试题有深刻背景ꎬ可以引申推广
题６㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若
某集合中的任意两个不同元素的和㊁差㊁积㊁商(求商时除数不为０)仍是该集合中的元素ꎬ则称该集合是封闭集合.在集合ＲꎬＱꎬ∁ＲＱꎬ{ｍ＋ｎ２｜ｍꎬｎɪＺ}中ꎬ是封闭集合的个数为
.
答案:２.
题７㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第３题)已知椭圆ｘ２
２＋ｙ２＝１与圆ｘ２＋ｙ２＝４ꎬ从圆上的动点Ａ作
椭圆的切点弦ꎬ求所有的切点弦所在的直线围成曲线的面积.
解㊀可设动点Ａ(２ｃｏｓθꎬ２ｓｉｎθ)ꎬ可得切点弦所在的直线方程是ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１.
因为椭圆
ｘ２
ａ２＋ｙ２
ｂ２
＝１(ａ>ｂ>０)在点(ａｃｏｓθꎬｂｓｉｎθ)处的切线方程是ｃｏｓθａｘ＋ｓｉｎθｂｙ＝１ꎬ所以令ａ＝１ꎬｂ＝１
２后ꎬ可
得直线ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１是椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１在点(ｃｏｓθꎬ１
２
ｓｉｎθ)处的切线ꎬ即直线ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１围成的图形是椭圆ｘ２
＋４ｙ２
＝１(如图１所示)ꎬ可得其面积是π １ １２＝π２
.图１
注：题６的背景是«近世代
数»中的㊁环㊁域.题７的背景是«高等几何»知识 曲线是切线的包络 ：曲线可 点动成线 来生成ꎻ也可由曲线上点的切线围成ꎬ即 曲线是切线的包络 .
由题７的解法ꎬ还可得到
其一般结论：过圆ｘ２
＋ｙ２
＝ｒ２
上的动点Ａ作椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ
２＝
１(ａ>ｂ>０)的切点弦ꎬ所有的切点弦围成的曲线是椭圆ｒ２ｘ２ａ４＋ｒ２ｙ２
ｂ
４＝１.４.强基计划试题覆盖面广
强基计划还没有明确的考试大纲ꎬ试题的覆盖面很
广ꎬ很多题的难度超出高考㊁联赛ꎬ甚至高中数学的知识
范围而涉及高等数学ꎬ需要考生 见多识广 .题８㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)若函数
ｆ(ｘ)＝３ｘ－３－ｘ的反函数为ｙ＝ｆ
－１
(ｘ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ
－１
(ｘ－
１)＋１在[－３ꎬ５]上的最大值和最小值的和为(㊀㊀).
Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４答案:Ｃ.
题９㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知两点Ａ(ｘꎬｙ)ꎬＢ(ｙꎬｘ)ꎬ其中ｘꎬｙɪ{１ꎬ２ꎬ
３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９}且ｘʂｙꎬ连结ＯＡꎬＯＢ(其中Ｏ是坐标原点)ꎬ则øＡＯＢ＝２ａｒｃｔａｎ
１
３
的概率为.
答案:
１９
.题１０㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)ａｒｃｓｉｎ
１４＋３２８＋ａｒｃｓｉｎ３
４
＝.
答案:Ｄ
Ａ.
π３㊀㊀Ｂ.π２㊀㊀Ｃ.２π３㊀㊀Ｄ.３π４
题１１㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)已知抛物线ｘ＝３ｙ２的焦点为Ｆꎬ若该抛物线在点Ａ处的切线与直线ＡＦ的夹角为３０ʎꎬ则点Ａ的横坐标为(㊀㊀).
Ａ.
１９㊀㊀Ｂ.１３６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１１６
答案:Ｃ.
题１２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第３题)双曲线ｙ＝
ｘ３
＋１
ｘ的离心率是.
答案:
２
３
３.题１３㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第２题)
已知关于ｘ的方程ｘ５＋ｐｘ＋ｑ＝０有有理根ꎬ且正整数ｐꎬｑ均不大于１００ꎬ求满足这些条件的有序数组(ｐꎬｑ)的组数.
答案:１３３.
题１４㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第４题)求方程１９ｘ＋９３ｙ＝４ｘｙ整数解的组数.
答案:８.
注：解答题８要用到反函数知识ꎬ解答题９与题１０要用到反三角函数知识ꎬ解答题１１要用到两直线的夹角公式ꎬ题１２涉及平面直角坐标系的旋转变换ꎬ题１３与题１４涉及初等数论中的数的整除㊁不定方
程知识.而这些知识在现行高中数学教材中均未讲述ꎬ但属于强基计划的命题范围.５.部分数学强基计划试题运算量较大ꎬ或有较强的技巧
题１５㊀
(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学
３５
试题第６题)若ａ＝２０２０２０２０ꎬｂ＝２０１９２０２１ ２０２１２０１９ꎬｃ＝１
２(２０１９２０２１＋２０２１２０１９)ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小顺序是.
答案:ｃ>ａ>ｂ.
题１６㊀㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第１题)已知正数ｘꎬｙꎬｚꎬｗ满足ｘȡｙȡｗꎬ且ｘ＋ｙɤ２(ｗ＋ｚ)ꎬ
求ｗ
ｘ＋
ｚ
ｙ的最小值.
答案:２－１２.
题１７㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学
试题第９题)求函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－２ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ(０ɤｘɤπ２)的值域.
答案:[－５４ꎬ５].
题１８㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第１０题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ａｘ２－ｘ＋１－ａꎬ若∀ｘɪ[－１ꎬ１]ꎬ｜ｆ(ｘ)｜ȡ｜ｘ｜ꎬ求实数ａ的取值范围.
答案:(－ɕꎬ－１２].
注：解答题１５与题１６均需要用到较强的放缩技巧ꎬ后者还要使用导数ꎻ解答题１７需要用到较强的凑配技巧：先得ｙ＝(２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ)２＋(２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ)－１ꎬ再用换元法求解(这与高中三角函数题的常规解法不一样)ꎻ题１８是所在试卷(共１１道试题)难度最大的一道试题ꎬ其常规解法须用到二次讨论ꎬ比较复杂.
６.强基计划数学试题注重引导培养考生创新意识和动手操作能力
毫无疑问ꎬ这是强基计划考试的主旨与方向.
题１９㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)对于方程２ｘ－ｓｉｎｘ＝１ꎬ在下列结论中错误的序号是: (１)该方程无正数根ꎻ
(２)该方程有无数个根ꎻ
(３)该方程有一个正数根ꎻ
(４)该方程的实根小于１.
答案:(１).
题２０㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)若ｋ>４ꎬ则直线ｋｘ－２ｙ－２ｋ＋８＝０和２ｘ＋ｋ２ｙ－４ｋ２－４＝０与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.
答案:(１７４ꎬ８).
题２１㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)单位正方体的六边形截面周长的最小值是.
答案:３２.
注:㊀解答题１９须使用图形计算器(上海的数学高考是允许的)ꎬ否则本题难度很大ꎻ题２０的解法是准确作图后用割补法及配方法求解ꎻ题２１的解法是用正方体的平面展开图来求解.
由题２１的解法还可得到结论：若点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬＩꎬＪ分别在单位正方体的棱ＡＢꎬＢＢᶄꎬＢᶄＣᶄꎬＣᶄＤᶄꎬＤᶄＤꎬＤＡ(包括端点)上ꎬ则ＨＩ＋ＩＪ＋ＪＥ＋ＥＦ＋ＦＧ＋ＧＨ的最小值是３２.
７.部分数学强基计划试题解法简洁新颖ꎬ用到知识也很少
题２２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第４题)若数列{ａｎ}满足ａ１＝１ꎬａ２＝３ꎬａｎ＝
２ａ２ｎ－１
ａ
ｎ－２
＋
ａ
ｎ－１(ｎȡ３ꎬｎɪＮ)ꎬ则数列{ａｎ}的通项公式是.
答案:ａｎ＝ᵑｎｋ＝１(２ｋ－１).
注：解答本题只需用到构造法与累乘法.
８.数学强基计划试题的最大特点是原创性
由于强基计划试题命题人多是大学教授㊁专家或数学界知名学者ꎬ他们视野宽阔ꎬ经常站在数学学科和社会发展的前沿思考问题ꎬ因此每年的自主招生试题都令人耳目一新ꎬ难以捉摸ꎻ但仔细分析一些强基计划数学试题ꎬ还是可以看出其一些特点的ꎬ而原创性是其最明显特点.㊀㊀四㊁强基计划考试数学试题的来源
１.源于教材
教材是命题的基本依据ꎬ不少强基计划试题有教材背景ꎬ是教材上例题㊁习题㊁定义㊁定理的组合改编ꎬ甚至有时就是原题.
题２３㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)用同样大小的正ｎ边形平铺整个平面(没有重叠且没有空隙)ꎬ若要将这个平面铺满ꎬ则ｎ＝.
答案:３ꎬ４ꎬ或６.
题２４㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第５题)已知ｘꎬｙꎬｚɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ判断ｓ＝
ｘ
ｘ＋ｙ＋
ｙ
ｙ＋ｚ＋
ｚ
ｚ＋ｘ是否存在最大值或最小值.
答案：均不存在.
注：初中数学教材中就有题２３这类平面平铺问题.
题２４源于全日制普通高级中学教科书(必修)«数学 第二册(上)»(人民教育出版社ꎬ２００６年第２版)第１２－１３页的 例２㊀已知都是ａꎬｂꎬｍ正数ꎬ并且
ａ<ｂꎬ求证:ａ＋ｍ
ｂ＋ｍ>
ａ
ｂ. 该结论就是大家熟悉的  糖水不等式  .
２.源于国内外高考试题
许多稍难的高考试题更适合更高层次的选拔ꎬ所以
４５
有些这样的高考题就被改编成了(或直接作为)强基计划试题.
题２５㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若某个四面体的各个顶点到某个平面的距离都相等ꎬ则称该平面为这个四面体的中位面.一个已知的四面体的中位面的个数是
.(答案:７.)
题２６㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)与两两异面的三条直线均相交的直线条数是.
(答案：无数.)
注：题２５是空间距离中的经典问题ꎻ作为排列组合
知识ꎬ还涉及均匀分组和非均匀分组.这道题与２００５年高考全国卷Ⅲ文科㊁理科第１１题实质相同.
不共面的四个定点到平面α的距离都相等ꎬ这样的平面α共有(㊀㊀).
Ａ.３个㊀㊀
Ｂ.４个㊀㊀Ｃ.６个㊀㊀Ｄ.７个
题２６与下面的两道题目实质相同:
(２００８年高考辽宁卷理科第１１题即文科第１２题)在
正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＥꎬＦ分别为棱ＡＡ１ꎬＣＣ１的中点ꎬ则在空间中与三条直线Ａ１Ｄ１ꎬＥＦꎬＣＤ都相交的直线(㊀㊀).
Ａ.不存在㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.有且只有两条Ｃ.有且只有三条
Ｄ.有无数条
(复旦大学２００８年自主选拔数学Ｂ卷试题第２６题)若空间三条直线ａꎬｂꎬｃ两两异面ꎬ则与ａꎬｂꎬｃ都相交的直线有(㊀㊀).
Ａ.０条㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.１条Ｃ.多于１条的有限条㊀
Ｄ.无穷多条
３.源于历年的强基计划(自主招生)试题
题２７㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)
若实数ａꎬｂ满足(ａ＋ｂ)５９＝－１ꎬ(ａ－ｂ)６０＝１ꎬ则 ６０
ｎ＝１
(ａｎ＋ｂｎ
)＝
.
答案:０.
题２８㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原
题为单项选择题)定义ｆＭ(ｘ)＝１ꎬɪＭꎬ
－１ꎬｘ∉Ｍꎬ{Ｍ Ｎ＝{ｘ｜
ｆＭ(ｘ)ｆＮ(ｘ)＝－１}ꎬ已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ<
２－ｘ}ꎬＢ＝{ｘ
｜(ｘ＋３)(ｘ－３)>０}ꎬ则Ａ Ｂ＝
.
答案:(－ɕꎬ－３]ɣ[０ꎬ１)ɣ(３ꎬ＋ɕ).
题２９㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学
试题)若ｚ＋ｚ＝１ꎬ则｜ｚ＋１｜－｜ｚ－ｉ｜的取值范围是
.
答案:(－１ꎬ２].
题３０㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第２题)点集{(ｘꎬｙ)｜｜５ｘ＋６ｙ｜＋｜９ｘ＋１１ｙ｜ɤ１}的面积是
.
答案:２.
注：题２７ꎬ２８ꎬ２９ꎬ３０分别与下面的自主招生试题如出一辙.
(２００８年复旦大学千分考第６９题)若实数ａꎬｂ满足
(ａ＋ｂ)
５９
＝－１ꎬ(ａ－ｂ)
６０
＝１ꎬ则 ６０
ｎ＝１
(ａｎ－ｂｎ)＝(㊀㊀).
Ａ.－１２１㊀㊀Ｂ.－４９㊀㊀Ｃ.０㊀㊀Ｄ.２３答案:Ｃ.
(２０１６年清华大学夏令营数学试题第９题)定义ｆＭ(ｘ)＝
－１ꎬｘɪＭꎬ
１ꎬｘ∉Ｍꎬ
{
ＭΔＮ＝ｘｆＭ(ｘ) ｆＮ(ｘ)＝－１{}ꎬ已
知集合Ａ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０１６{}ꎬＢ＝２ꎬ４ꎬ６ꎬ ꎬ４０３２{}.
(１)求ｆＡ(２０１６)ꎬｆＢ(２０１６)ꎻ
(２)设ｃａｒｄ(Ｘ)表示集合Ｘ的元素个数ꎬ求ｍ＝ｃａｒｄ(ＸΔＡ)＋ｃａｒｄ(ＸΔＢ)的最小值.
答案:(１)－１ꎬ－１ꎻ(２)２０１６.
(２０１７年中国科学技术大学自主招生数学试题第２题)函数ｆ(ｘ)＝
２ｘ２－２ｘ＋１－
２ｘ２＋２ｘ＋５的值域是
.
答案:[－２ꎬ２).
(２０１９年中国科学技术大学自主招生数学试题第１
题)满足ｘ＋２ｙ＋３ｘ＋４ｙɤ５(ｘꎬｙɪＲ)的点(ｘꎬｙ)所构成的区域的面积是
.
答案:２５.
题３０是线性规划问题(但难于作图)ꎬ可得题中的点集表示的图形是平行四边形ꎬ由公式Ｓ▱＝
１
２
ａｈ可求解(或先通过分类讨论去掉绝对值符号后再求解).
４.源于各级各类竞赛试题
题３１㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题
为单项选择题)已知ｘꎬｙɪ[－
π４ꎬπ４
]
ꎬ若ｘ３＋ｃｏｓ(ｘ＋
３π
２)－２ａ＝０ꎬ４ｙ３
＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０ꎬ{
则ｃｏｓ(ｘ＋２ｙ)的值(㊀㊀).
Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.－１㊀㊀Ｄ.与ａ有关答案:Ｂ.
注：该题源于早年的数学竞赛试题：用减函数与单调函数的性质求解.
５.源于某些初等数学研究成果
题３２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学
试题第８题)已知ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ是１ꎬ２ꎬ ꎬｎ的一个排列ꎬ若ｉ<ｊ且ａｉ<ａｊꎬ则称(ａｉꎬａｊ)为排列ａ
１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ的一个顺序对.设Ｘ为排列ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ的顺序对的对数ꎬ则Ｅ(Ｘ)＝
.
５５