2010年北大自主招生试题（理科）
数学：
1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分)
2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分)
3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0<t0<1/5时，夹角的取值范围。(25分)
4.存不存在0<x<π/2，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列。(25分)
化学：
1.Ca在空气中燃烧的固体产物溶于水，放热，放出有臭味的气体，写出方程式。
2.同样浓度下，醋酸和氨水的电离程度相同，但氢氧化铝可以完全溶于醋酸，却不能溶于氨水，问这能说明氢氧化铝的什么性质？
3.和水一样，酯也可以在氨中发生氨解反应，写出RCOOR’的氨解反应方程式。
4.不同于水溶液，在液氨的环境中，“不活泼”金属可以将“活泼”金属置换出来，如Mg+NaI=MgI+Na，解释为什么可以发生这样的反应。
5．Fe，Cu溶于稀硝酸，剩余固体为以下情况时，溶液中可能的阳离子：
（1）不剩余固体
（2）剩余固体为Cu
(3）剩余固体为Fe，Cu
（4）可不可能剩余的固体只有Fe，为什么？
6．已知C（s），氢气（g），乙醇（l）的燃烧热为394kJ/mol，286kJ/mol，1367kJ/mol，由这些可以知道哪些数据？
7．在发烟硝酸H2SO4•SO3中，2molI2和3molI2O5生成I2（SO4）3，I2（SO4）3溶于水生成I2和I2O4，写出以上两个方程式。
8.测定溶液中Iˉ的方法，当Iˉ太少时可用增大倍数的方法，第一种：用将Iˉ氧化为HIO3，后除去多余，用KI还原HIO3后测定Iˉ的量；第二种：用IO4ˉ将Iˉ氧化为IO3ˉ，加入一种物质阻止IO4ˉ和Iˉ反应，用KI还原IO3ˉ后测定Iˉ的量。问以上两种方法分别将Iˉ扩大了多少倍？
物理：
1．光滑平面，两个相隔一定距离的小球分别以Vo（左）和0.8Vo（右）反向匀速运动，它们中间有两个小球1在左侧m，2在右侧2m，中间有一压缩的弹簧，弹性势能为Ep，当弹性势
能全部释放后（1）求小球1，2的速度（2）若小球1能追上左边的以Vo运动的球，而小球2不能追上右边以0.8Vo运动的球，求m的取值范围。
2．物体做斜抛运动（1），抛出速度V与水平面夹角为θ，求落回抛出平面时与抛出点的距离。（2）若人以Vo抛出一个球，落回抛出平面时与抛出点的距离为L，求抛出速度的最小值，以及此时的θ。
4．理想气体，从A状态到B状态到C状态后回到A状态，AB为等温变化（P减小V增大），BC等压变化（V减小），CA为等积变化（P减小）
(1）三个过程中哪个气体对外做功的绝对值最大？
（2）哪个过程内能增加，哪个减少？
（3）BC和CA过程中哪个过程的吸热和放热的绝对值大？
5.正四面体，每条边的电阻均为R，取一条边的两个顶点，问整个四面体的等效电阻为多少。
6.光滑U型导轨上有一导体切割匀强磁场匀速运动，回路中有一电阻为R=0.3Ω，切割长度为70cm，磁场强度B=0.5T
（1）回路中产生的感应电动势
（2）R的功率
（3）维持导体做匀速直线运动的外力大小
7．直角坐标系，y>0的范围内有匀强磁场B，y<0范围内有竖直向下电场，P（3l，0）Q（0，4l），一个m带电-q的粒子从O点出射，与X轴正方向夹角为φ，一直沿O、P、Q围成的闭合图形运动
（1）求运动速度V，φ
（2）求场强大小E
    2009年清华大学自主招生数学试题（理综）
1．求值：
2．2．请写出一个整系数多项式，使得是其一个根
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。
4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。问在最坏情况下需要多少个集装箱。
5．，两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若出现在黑板上，则形如 的数都不能写，不得不写1的人算输。初始状态黑板上写着5，6
问先写的人还是后写的人有必胜策略？
6．64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多8匹马参赛）
7．，两人玩一个游戏，提供若干硬币，可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点。规则是：可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点，并选择一个与它相邻的顶点，将上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在上。若在有限步内根据规则在上放上一个硬币则获胜。已知B不想让A赢且他很聪明，试问在这两种情况下A各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。
 2009年清华大学自主招生试题
数学部分北大自主招生：(^表示指数位置)
1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整数部分为A，小数部分为B。求：（1）A、B（2）B+B^2+B^3+……＋B^n
2、2、求证：（1）当x+y=1，x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1)       （2）a,b,c>0,任意将其排序为x,y,z。求证：a/x+b/y+c/z>=3
  3、问x^2+2px+2q=0,p、q是奇数时是否有有理数根，证明之。
  4、椭圆x^2/(a^2)＋y^2/(b^2)=1,过A(-a，0)做l交椭圆与P交y轴于R，过O做l’平行于l交椭圆于Q.求证：AP、根二倍OQ、AR成等比数列
  5、写出所有公差是8的三项等差质数列。
  6、sin t＋cos t＝1，z=cos t+i sin t(i是虚数单位)，求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n
  7、求证：a1,a2,a3,a4……a2n+1各项相等的充要条件是数列『an』满足条件：从中任取2n项，均可分成各含n项的两组使两组各项之和相等
  8、四面体ABCD中，AB=CD,AC=BD,AD=BC，求证：（1）其四个面都是锐角三角形（2）若同一面上三个二面角是a,b,c，cosa+cosb+cosc=1
  9、三位数中任取一数，求：它是5的倍数的概率；它恰有两位数字相等的概率
  物理：
  实验题：黑箱上有ABCD四个接头，AB间电压为5V，BC为0，AD为3V，CD为2V，其中有一个电源，若干电阻，画出含电阻最少的电路图。
  计算题：
1.三根重G的木杆对称地摆成正四面体，长a，直径忽略，摩擦力足够大，（1）求杆顶端受力大小及方向；（2）若有重G的人坐在某杆中点，杆不动，求此时杆顶端受力（要用力矩）
2.长H的铁链悬空，下端恰与台秤接触，现自由释放，求台秤的最大示数是铁链重的多少倍。
  3.斜面C上有物体B，B的水平上部上有A，ABC质量分别为m1、m2、m3，斜面倾角为a，AB间动摩擦因数为u1,BC间为u2。以水平力F拉C，C在光滑水平面上（1）若AB不滑动，求AB、BC间的摩擦力（2）增大F，谁先滑动？
  4.异种电荷＋q、－q以不等半径绕o轴以相同角速度旋转，求o上一点的磁场方向
  5.电阻网的问题 
  理科综合：
  数学部分：
  1、以e为底，某虚数为指数的运算（疑似与三角函数有关）
  2、64匹马，每场赛8匹，问理想状态下能否在50场比赛内完成排名？
  3、有限条抛物线及其内部（含焦点的部分）能否覆盖整个平面？证明之。
  4、100个集装箱内共有200件货物（两件一箱），大乱顺序重新装箱。若出现箱剩余容积
不足以容纳下一件货物，封闭该箱，另取一集装箱，封闭的箱不能再打开。问再最坏的情况下，这200件货物需用多少集装箱才能重新装箱？证明之。
  5、写出一个整系数方程，使2^0.5+3^(1/3)是其一个根
  6、制定规则如下：AB轮流在黑板写整数字，写下的数不能表示成已有数字的非负线性组合，例在有3、5后不能在写8＝3＋5，15＝3×5，9＝3×3，写下1的判输。若黑板上已有5、6，问谁有必胜策略
  7、A选择n枚硬币，B根据自己的策略摆放这些硬币，之后A选取一个至少有2枚硬币的位点，取走一枚硬币，再将另一硬币移动到相邻位点，当指定点P上有硬币时判A胜。问再一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上，A分别至少选择多少枚硬币时，无论P的位置均可保证获胜？ 
  物理部分：
  1、 理想气体满足PV^0.5＝常量，当V变为2V时，求T的变化
  2、 以人＝491um光照射金属，其遏止电压为0.71v，当以人＝364um的光照射时求其遏止电压。普朗克常数h＝6.6×10^(-34)，元电荷e＝1.6×10^(-19)（其实原理很简单，求出逸出功即可，就是数不好算）
  3、 小球质量m小车质量M，悬线长l，将小球拉至悬线水平自由释放，至悬线与竖直方向最大夹角（异侧）为b，地面光滑水平（1）求细线拉力对小车做的功（2）小车位移
  4、 光滑水平面上有一金属杆，两只同质量青蛙同时以相同对地倾角相同大小的速度相反的方向跳起，均恰好落在杆的另一端，求青蛙与杆的质量比
  5、 对黑体辐射的物体，辐射最大波长l满足lT＝b（T为热力学温度，b是常量）——辐射功率P＝cT^4（c为常量）。已知人体的l＝9.6um，太阳的l=500nm（1）四块金属板依次排开，第一块温度T1，第四块温度T4，求第二块温度T2；（2）火星距太阳400R（R是太阳半径），认为火星受热面积为pie r^2（pie为圆周率，r为火星半径）估算火星表面温度（我的思路：计算400R半径的球的表面积S，火星受热面积与S之比就是火星受热占太阳辐射总功率的比例。根据人体37摄氏度和l可计算出常量b。当火星辐射功率与受热功率相等时，就是其温度平衡时，可列出方程消去常量c。太阳体积时地球的130万倍，火星与地球大约在同一
数量级，我估算的R＝100r，算得火星表面平均温度在0摄氏度上下，应该差不多）
  6、 在失重条件下设计实验测宇航员质量，并进行误差分析 
  化学部分：
  1、 写出H3PO2和五氧化铬的分子结构式
  2、 为何氟气解离成氟原子需要的能量比解离低？
  3、 为何卤素能形成＋1、＋5、＋7价化合物？
  4、 臭氧和双氧水是极性分子吗？解释之
  5、 从分子结构分析为什么氧气能和大多数金属和除氟外的卤素直接化合