2021年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷
（优秀中学生暑期学堂）含答案解析
一、综合题（本大题共20小题）
2、平面内有定圆和动圆，动圆与定圆内切且恒过内不为圆心的一定点，则的圆心轨迹为 ．
3、已知，则的最大值为 ．
4、已知，且满足 ，，则有序数对的组数为 ．
5、已知，则的最小值为 ．
6、若对任意的恒成立，则的最大值为 ．
7、已知复数，，，是方程的个相异根，则 ．
8、在数列中，已知，北大自主招生，，且当时，有．记，则的值为 ．
9、和式的计算结果最后三位数字为 ．
12、已知对任意的实数均成立，则 ．
13、已知，，，满足方程
，
则有理数对的对数为 ．
15、已知，，为三角形三边长，则 的取值范围为 ．
16、设有种方式分为个正整数的倒数之和，有种方式分为个正奇数的倒数之和，则（ ）．
A.
B. ，
C. ，
D. 以上均不正确
17、已知，，，且满足，则与的大小关系为 ．
18、方程的整数解的组数为 ．
19、已知实数，满足，则的最大值为 ．
20、集合的非空子集中元素和为的倍数的集合个数为 ．
1 、【答案】 ;
【解析】 由题，即恒成立．从而我们只需求函数的最小值．
注意到，
且，故在处取最小值，
从而，
从而的最大值为．
2 、【答案】 椭圆;
【解析】 不妨设定圆圆心为，半径为，
动圆圆心为，半径为，
定点记为，切点为．
如图所示，
我们有，
这说明点到两定点与的距离之和为定值，
且大于两定点之间的距离，
因此的圆心的轨迹为椭圆．
3 、【答案】 ;
【解析】 注意到，
即，
当且仅当，时，等号成立．
故的最大值为．
4 、【答案】 ;
【解析】 解令，，由题可知，
且
利用函数与其反函数的图像关于直线对称，我们做出，以及
，在区间 的大致图像，如下图：
其中为两条虚线的交点横坐标，为两条实线的交点横坐标．
从而由图可知：有序数对的组数为．
5 、【答案】 ;
【解析】 令，，则我们有
）（其中）
（当且仅当时等号成立），
即的最小值为．
6 、【答案】 ;
【解析】 原题即为恒成立．
所以我们有 恒成立，
从而有 ．
于是可得的最大值为．
7 、【答案】 ;
【解析】 不妨令，
则 ，，，是方程
的所有根，
将式展开得，
从而由韦达定理知，
．
8 、【答案】 ;
【解析】 注意到，当时，有
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