2018年北京大学自主招生数学试卷
选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 把实数2018)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（ C ）
A.0
B. 9
C. 27
D. 前三个答案都不对
解答：记2018(5b =−，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.
由二项式展开，容易知道20182018*(5(5a b N +=++−∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9. 答案C.
2. 已知b a ≠，1)()(22=+=+c a b c b a ，则abc b a c −+)(2
的值为（ A ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. 前三个答案都不对
解法一：由22()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒−+−+=⇒−++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔−=⇒=−， 2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+−=+−=−−=−=。
解法二：记()21a b c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有
()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b −+−=⇔−++=⎡⎤⎣⎦，
由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=−+，从而原式=2
2()2c a b abc +=−. 另一方面，由21b c a +=……③，21a c b
+=……④，④-③有 222211a b a b a b b a −=−⇒=+，与()ab c a b =−+比较可知道11c abc ab
=−⇒=−， 从而原式=22()22c a b abc +=−=. 答案A.
3. 设1,0≠>a a ，函数14)(2−−=x x a a
x f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（ C ） A. 22
1≥=a a 或 B. 210≥<<a a 或 C .22
10≥<<a a 或 D. 前三个答案都不对
解答：()22()4125x x x f x a a a =−−=−−，则()22x a −在[]1,2x ∈−时的最小值为0，即当[]1,2x ∈−时，x
a 的取值范
围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫−−≤⇔−≥
⎪⎝⎭， 考虑到0a >，可得22
10≥<<a a 或. 答案C. 4. 设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（ D ）
A. -25
B. -36
C. -48
D. 前三个答案都不对
解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =−，则 ()21110(202)36
n nS n n n n n =−=−⋅⋅−，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49. 答案D. 5. 以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB 、CD 都相切，则 |AB|+|CD|-|BC|的值（ D ）
A. 为正
B. 为负
C. 可正可负
D. 前三个答案都不对
解答：当ABCD 特别接近矩形时，12
AB CD BC r ===，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）； 另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正. 答案D.
6. 在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（ C ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 前三个答案都不对
解答： 根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知
tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然. 答案C.
7. 满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（ B ）
A. 1
B. 2
C.无穷多
D. 前三个答案都不对
解答： 容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =. 事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这
样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两
个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅ 有2k k = ，
从而0,1k =. 答案B.
8. 设函数t t t f 2)(2
+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（ B ） A. 4π B. 2π
C. π
D. 前三个答案都不对
解答：平面区域问题 ()()()()22
222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤； ()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔−++≥；
如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形，
并且扇形半径为2.所以区域面积为2π. 答案B.
9. 不等式
122>+y x 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（ D ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 前三个答案都不对
解答：本质上是不定方程问题:
()()()22120224xy x y x y x y
+>⇒−+<⇒−−<, 所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y −−=，所以正整数解),(y x 的个数是5. 答案D.
10. 设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2
，则2018a 的值为（ C ） A. 2019
1 B. 20181 C. 10091 D. 前三个答案都不对 解答：n S =n a n 2，1n S +=()211n n a ++，作差可得
()()2
2111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=−=+−⇒+=，
()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+=
=⋅⋅=⋅， 所以2018220191.201820191009
a ⋅==⋅ 答案C. 11. 在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（ D ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 前三个答案都不对
解答：根据AD 垂直BC 于D，且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12， 则三角形ABD 的内切圆半径为5121322+−=，三角形ACD 的内切圆半径为1291532
+−=，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为
d ==答案D.
12. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =
−，则B A tan tan 等于（ A ） A. 2 B. 1 C. 21 D. 前三个答案都不对 解答：根据正弦定理 ()11sin cos sin cos sin sin 33
A B B A C A B −==+ 展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan A A B B A B
=⇒=. 13. 设实数y x ，满足1422
=+y x ，则1243−+y x 的取值范围为（ B ） A. [)+∞,0 B. []13212132-12+，
C. []
13212,0+ D. 前三个答案都不对
解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则
(
)34126cos 4sin 121212x y θθθϕ⎡+−=+−=+−∈−+⎣，北大自主招生
答案B.
14. 过椭圆14
92
2=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，过切点的直线与坐标轴交于Q P ，两点，O 为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（ B ）
A. 21
B. 32
C.43
D. 前三个答案都不对
解答：记()220000,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
000012222POQ S x y x y ∆==
，另一方面2200001943
x y x y =+≥=，所有0022.3POQ S x y ∆=≤ 答案B.
15. 设正实数b a ，满足1=+b a ，则3271b
a +的最小值为（ A ） A. 2131347+ B. 2
131555+ C. 218 D. 前三个答案都不对 解答：记1a b =−，3127,1u b b =+− 则()241811du db b b =−−，令()2418101du db b
b =−=−，根据 10,0a b b =−>>，则(
)29912b b b −+=−⇒=
（舍负），代入可得3271b a +的最小值为 2
131347+. 答案A. 16. 在正方体1111D C B A ABCD −中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（ A ）
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线一支的一部分
D. 前三个答案都不对
解答：1145DD M DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.
17. 已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且321π=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ D ）
A. 32
B. 3
C.331
D. 前三个答案都不对 解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论： 122212tan cot 33F PF S b b π
π
∆==，于是22
213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和
1211e e +==
12111e e +=≤= 答案D.
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