2016年北京大学自主招生数学试题
一、选择题(在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知
2(02π)1sin cos cos 1sin 22<<=---x x x x x ，则x 的取值范围是（）A．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πB．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2C．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππD．前三个答案都不对
2．()()()()12121212201632++++ 的个位数字是（
）A．1B．3C．5D．前三个答案都不对
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记()n f 为最接近n 的整数，其中*∈N n ．若
()()()201612111=+++m f f f ，则正整数m 的值为（
）A．1015056B．1017072C．1019090D．前三个答案都不对
5．实数x ,y ,z 满足2016=++z y x ，2016
1111=++z y x ，则()()()=---201620162016z y x （）
A．0B．1C．−1D．前三个答案都不对
6．方程组()
⎪⎩⎪⎨⎧+==--c b a abc c b a 2,32333的非负整数解有（）A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）A．222+B．322+C．622+D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，
第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（
）A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知()432+-=x x x f ，()x g 为整系数多项式，()()a x x x x x g f ++++=6950183234，则()x g 的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]
12001200212001200222+=+n n 的正整数解有_______个．
3x n +8y n +z n ≤1成立，则所有满足要求的点12．空间中的一点P (x ,y ,z )满足∃n ∈N *，使得P 所形成的空间几何体的体积为_______．
参考答案与解析
1．B．
根据题意，有0sin >x ，0cos <x ，于是x 是第二象限的角．
2．C．
因为5122=+，且对于任意正整数k ，都有12+k 为奇数，所以
()()()()()
10mod 512121212201632≡++++ .3．D．
考虑到平面内使△PAB 和△PBC 的面积相等的点的轨迹为直线BM 以及过点B 且与AC 平行的直线，其中M 为边AC 的中点，因此满足题意的点P 有4个：△ABC 的重心，或者由P,A,B,C 四点所构成的平行四边形的顶点．
4．B．
若()k n f =，则k k n k k +≤≤+-221,
所以
()()()()()(),
,26543,
北大自主招生121 ======f f f f f f ,
进而有()()()1008
1201631621412121112016⋅++⋅+⋅+⋅=+++= m f f f ，故10170722016642=++++= m ．
5．A．
()()()()()()[]m z y x m z y x m mxyz m z y x m zx yz xy m xyz m z m y m x -+++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+++++-=---23
21111,
7．C．
棱长为a 的正四面体的内切球半径为a 12
6．设4个半径为1的球的球心分别为1O ，2O ,3O ,4O ，则正四面体4321O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为
66．设这4个球的外切正四面体为ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为6
61+，故正四面体ABCD 的棱长为622+．8．D．
假设这样的分法存在，设三组数的和分别为x 102,y 203,z 304，*∈N z y x ,,，则
5050304203102=++z y x ,
即
()()5010132101⨯=+++++z y x z y x ,
于是
z y x ++|101,
因此101≥++z y x ．而此时
()5050102304203102>++>++z y x z y x ,
矛盾．故不存在满足题意的分法．
易知()x g 为二次多项式，设()r qx px x g ++=2，则
()()()()()
()4366363432223422+-+-+-+++=+-=r r x q qr x p pr q pqx x p x g x g x g f ，对比系数，依次解得1=p ，3=q ，4=r ，48=a ．故()x g 的各项系数之和为8．10．44．每一轮剩下的牌依次是
2,4,6,⋯,52,54,
4,8,12,⋯,48,52,
4,12,20,⋯,44,52,
12,28,44,
12,44,
44.
11．4002．
所以200120021200120022⋅=+．于是原方程等价于
解得2001120012++<n ，所以原方程的正整数解有4002组．
12．3
1．考虑第一卦限，只需要()1,0,8,3∈z y x 即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为
发布评论