一.选择题
1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2
y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对
A ．3524
B ．3624
C ．3724
D ．前三个答案都不对
3.已知x ∈[0,2
π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）
北大自主招生
A ．1
B ．2
C ．3
D ．前三个答案都不对
4.已知2010−202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．前三个答案都不对
5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于
2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ）
A ．6.9
B ．7.1
C ．7.3
D ．前三个答案都不对
二.填空题
6.满足等式120151
11+)(1)2015
x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2
2222()()()
ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________
8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2，的最大整数是__________
9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222
2b a c ba
+-，且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________
三．解答题
11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5，求56a a +的最小值
12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a
+ 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ∆=c(c 为定值)，记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线
15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：a a a +++=30，a a a <21，求证：i a ∃，使得i a <1
##Answer##
1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2
y =(y+z)(y+x),1+2z =(z+x)(z+y) (1+2x )(1+2y )(1+2z )=2
[()(y z)(z x)]x y +++，对照前三个答案，只有A 是一个完全平方数 检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13，有解x=5,y =−3,z=8.选A
2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725。故选D ．
3.令t=cosx ，令h(t)=2t −2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥⎧⎪=-+<<⎨⎪=≤⎩
作图象知最大值为1，选A
4. 2010−202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432
555+++5+1),
432555+++5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n 的最大值为24，选D
5.设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC,BD 的夹角为θ，则
7.设a =(a ,d),b =(b,c)，二者夹角为θ，则所求为2||||a b a b ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
=2cos θ，如图
0≤θ≤∠AOB ⇒1≥cos θ≥cos ∠AOB=
||||OA OB OA OB ⋅=45⇒1625≤2cos θ≤1。填4125 8.设y=f (x)=2x +px+q,x ∈[1,5]，它可以由y=2x ,x ∈[-2,2]平移得到，y=2x 最值之差为4，根据|2x +px+q|≤2，
只能平移到顶点在(3,-2)处，有232424
p q p ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=±⎪⎩⇒67p q =⎧⎨=-⎩；同理67p q =-⎧⎨=⎩
不超过它的最大整数为9.填9
9.x+y+z=1⇔222222222
()()()2c a b c b a c b a b c a abc +-++-++-= ⇔22[()]()()0a a b c b c a b c -+----=⇔(a -b-c)(a -b+c)(a +b-c)=0
不妨设a ≤b ≤c ，则c=a +b ，于是 x=222
()2b c c b bc
+--=1，同理y=1,z=-1，于是201520152015x y z ++=1，填1 10.每个元素当做一个子集，就满足要求；填9
11.设数列{n a }的公比为q，由已知12a a +=25
1q ->0，则
56a a +=(12a a +)4
q =4251q q -210q t -=>设25(1)t t +=5(t+1t +2)≥5×
，等号成立当且仅当t=1t
⇔t=1⇔
故56a a +的最小值为20 12.(方法一)设f (x)=m 2x +nx+t(m ≠0), a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))公比为q(q>0)
则22222223()(())()()()((()))()(()f a ma na t aq f f a f aq m aq n aq t aq f f f a f aq m aq n aq t aq ⎧=++=⎪==++=⎨⎪==++=⎩
① ②) ③
①-②并化简得到：m a (1-2q )+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到：m a q(1-2q )+n(1-q)=q(1-q) 从而q=1,f (a )=a
(方法二)由已知()f a a =(())()f f a f a =((()))(())f f f a f f a ，假设f (a )≠a 则(())()
()f f a f a f a a --=((()))(())(())-()f f f a f f a f f a f a -⇒A(a ,f(a )),B(f (a ),f (f (a )),C(f (f (a)),f (f (f (a ))))，AB k =BC k ⇒A,B,C 三点共线⇒一条直线与抛物线交于三个点，矛盾
故f (a )=a
13.证明：设正方形的边长为x ，△ABC 外接圆半径为R ，当内接正方形如图所示时
11sin sin c B x x c B a -=⇒1x =sin sin ac B a c B +=22b
ac
R b a c R +=2abc Ra bc
+
同理其他情况，内接正方形的边长分别为2x =2abc Rb ac +，3x =2abc Rc ba
+ 1x -2x =2abc Ra bc +-2abc Rb ac +=()(2)(2)(2)
abc a b c R Ra bc Rb ac --++<0⇒1x <2x , 同理1x <1x
于是1x 最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B
+ 14.证明：设2θ为12,l l 的夹角，以O 为原点，12,l l 的角平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图 设X(x,y),|OA|=a ,|OB|=b ，则A(a cos θ,a sin θ),B(bcos θ,-bsin θ)
cos 2sin 2
a b x a b y θθ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，于是22x y -=a b 因AOB S ∆=12a bsin2θ=c，于是a b=2sin 2c θ，X 的轨迹方程为22x y -=2sin 2c θ
，轨迹是双曲线 15.(反证法)假设i ∀，i a ≥1，设i a =1+i b (i b ≥0), a a a +++=30⇒b b b +++=a a a =1210(1)(1)...(1)b b b +++=1+(b b b +++)+1213b b b b ++…≥21与a a a <21矛盾 故i a ∃，使得i a <1
发布评论