1-sin 2
x
12016年北京大学自主招生数学试题
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知
sin x -
cos x =2(0<x <2π)，则x 的取值范围是（
）
A．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2,0πB．⎪⎭⎫
⎝
⎛π
π,2C．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
23,
ππ D.以上三个答案都不对
2．(2+1)(22+1)(23+1)(2
2016
+1)
的个
位
数字是（）
A．1
B．3
C．5
D．前三个答案都不对
的整数，其中n ∈N *
．若
f (1)+1f (2)
++
1
f (m )
=2016，则正整数m 的
A．1015056
B．1017072
C．1019090
D．前三个答案都不对
5.实数x ,y ,z 满足x +y +z =2016，，则()()()=---201620162016z y x （）
5．A．0
B．1C．−1D．前三个答案都不对
⎧⎪a 3-b 3-c 3=3abc ,
6．方程组⎨⎪⎩a
2=2(b +c )的非负整数解有（
）
A．1组B．4组C．5组
D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
A．2+2B．2+2
C．2+2
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
1-cos 2
x
n 2
3
6
11
11=++z
y x
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知f (x )=3x 2-x +4，g (x )为整系数多项式，f (g (x ))=3x 4+18x 3+50x 2+69x +a ，则g (x )的各项系数之和为
．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第
张．
11．用高斯函数[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]
12001200212001200222+=+n n 的正整数解有
12．空间中的一点P (x ,y ,z )满足∃n ∈N *，使得183≤++n n n z y x 成立，则所有满足要求的
P 所形成的空间几何体的体积为
．
北京大学2016年自主招生数学参考答案与解析
1．B．
根据题意，有sin x>0，cos x<0，于是x是第二象限的角．
2．C．
因为22+1=5，且对于任意正整数k，都有2k+1为奇数，所以
(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)≡5(mod10).
3．D．
考虑到平面内使△PAB和△PBC的面积相等的点的轨迹为直线BM以及过点B且与AC平行的直线，其中M为边AC的中点，因此满足题意的点P有4个：△ABC的重心，或者由P,A,B,C四点所构成的平行四边形的顶点．
4．B．
若f(n)=k，则k2-k+1≤n≤k2+k,
所以
f(1)=f(2)=1,
f(3)=f(4)=f(5)=
,
f(6)=2,,
进而有2016=
1
+
1
++
1
=2⋅1+4⋅
1
+6⋅
1
++2016⋅
1
, f(1)f(2)f(m)231008
故m=2+4+6++2016=1017072．
5．A．
由于
(x-m)(y-m)(z-m)=xyz-m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)-m3
⎡1⎛111⎫⎤2,
=mxyz⎢
m- x+y+z⎪⎪⎥+m
[(x+y+z)-m]于是所求代数式的值为0
⎣⎝⎭⎦
6⎢⎪666．B．
根据题意，有
a 3-
b 3-
c 3-3abc =a 3-(b +c )3
+3bc (b +c -a )=a 3-1a 6+3bc ⎛1a 2-a
⎫
8=
⎛1
⎝2⎫⎡2⎛
1⎪⎭
,12⎫⎤a 1-a ⎪a 2 1+a +a 24
⎪-3bc ⎥
⎝⎭⎣⎝⎭⎦=0
当a =0时，(b ,c )=(0,0)；当a =2时，(b ,c )=(0,2),(1,1),(2,0)．当a ≠0,2时，有
2⎛
112⎫142a 1+a +a -3bc >a -3bc =(b +c )-3bc ≥0,
⎝2
4⎭4于是题中方程组的非负整数解共有4组．
7．C．
棱长为a 的正四面体的内切球半径为a ．设4个半径为1的球的球心分别为O ，O ,O ,O ,
12
1
2
3
4
则正四面体O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为
．设这4个球的外切正四面体为1
2
3
4
北大自主招生6
ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为1+
8．D．
6，故正四面体ABCD 的棱长为2+2
．
6
假设这样的分法存在，设三组数的和分别为102x ,203y ,304z ，x ,y ,z ∈N *，则
102x +203y +304z =5050,
即
101(x +2y +3z )+(x +y +z )=101⨯50,
于是
101|x +y +z ,
因此x +y +z ≥101．而此时
102x +203y +304z >102(x +y +z )>5050,
矛盾．故不存在满足题意的分法．
20012+120012+19．8．
易知g (x )为二次多项式，设g (x )=px 2+qx +r ，则
f (
g (x ))=3g 2(x )-g (x )+4=3p 2x 4+6pqx 3+(3q 2+6pr -p )
x 2+(6qr -q )x +3r 2-r +4,
对比系数，依次解得p =1，q =3，r =4，a =48．故g (x )的各项系数之和为8．10．44．
每一轮剩下的牌依次是
11．4002．因为
2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,
12,28,44,12,44,44.
2002⋅2001<2002
<2002⋅2001+1,
所以[
200220012+1]
=2002⋅2001．于是原方程等价于
[n
20012+1]
=2001n ,
即
2001n ≤n <2001n +1,
解得n <1+2001，所以原方程的正整数解有4002组．
12．．
3
考虑第一卦限，只需要3x ,8y ,z ∈(0,1)即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为一个长方体，体积为
1⋅1⋅1⋅8=1.383
20012+
1
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