北京大学2018年自主招生数学试题解析
选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。1.把实数2018
)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（C
）
A.0
B.9
C.27
D.前三个答案都不对
解答：记2018
(5b =-，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.
由二项式展开，容易知道2018
2018*(5(5a b N +=++-∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的
正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9.
答案C.
2.已知b a ≠，1)()(2
2
=+=+c a b c b a ，则abc b a c -+)(2
的值为（A
）
A.2
B.1
C.0
D.前三个答案都不对
解法一：由2
2
()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒-+-+=⇒-++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2
()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔-=⇒=-，
2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+-=+-=--=-=。
解法二：记()2
1a
b c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有
()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b -+-=⇔-++=⎡⎤⎣⎦，
由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=-+，从而原式=2
2()2c a b abc +=-.另一方面，由21b c a +=
……③，2
1
a c b
+=……④，④-③有22
2211a b a b a b b a -=
-
⇒=+，与()ab c a b =-+比较可知道11c abc ab
=-⇒=-，从而原式=2
2()22c a b a b c +=-=.答案A.
3.设1,0≠>a a ，函数14)(2--=x x
a a
x f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（C ）
A.221
≥=
a a 或  B.2
10≥
<<a a 或C .2
2
1
0≥<<a a 或  D.前三个答案都不对
解答：()2
2()4125x x x f x a a a =--=--，则()
2
2
x
a -在[]1,2x ∈-时的最小值为0，即当[]1,2x ∈-时，x
a 的取值范
围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫
--≤⇔-+-≥ ⎪⎝⎭
，考虑到0a >，可得22
1
0≥<
<a a 或.答案C.
4.设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（
D ）
A.-25
B.-36
C.-48
D.前三个答案都不对
解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =-，则()211
10(202)36
n nS n n n n n =-=-⋅⋅-，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49.答案D.
5.以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB、CD 都相切，则|AB|+|CD|-|BC|的值（D
）
A.为正
B.为负
C.可正可负
D.前三个答案都不对
解答：当ABCD 特别接近矩形时，1
2
AB CD BC r ==
=，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）；另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|
CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正.答案D.
6.在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（
C ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.前三个答案都不对
解答：根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知
tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然.
答案C.
7.满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（
B
）
A.1
B.2
C.无穷多
D.前三个答案都不对
解答：容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =.事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这
样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅有2
k k
=，
从而0,1k =.
答案B.
8.设函数t t t f 2)(2
+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（B
）
A.4π
B.2π
C.π
D.前三个答案都不对
解答：平面区域问题
()()()()22
222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤；
()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔-++≥；
如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形，并且扇形半径为2.所以区域面积为2π.
答案B.
9.不等式
12
2>+y
x 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（D ）A.3
B.4
C.6
D.前三个答案都不对
解答：本质上是不定方程问题:
()()()22
120224xy x y x y x y
+>⇒-+<⇒--<，所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y --=，所以正整数解),(y x 的个数是5.答案D.10.设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2
，则2018a 的值为（
C ）
A.
2019
1  B.
2018
1  C.
1009
1  D.前三个答案都不对
解答：n S =n a n 2
，1n S +=()2
北大自主招生
11n n a ++，作差可得
()()2
2111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=-=+-⇒+=，()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+=
=⋅⋅=⋅，
所以2018220191
.
201820191009
a ⋅=
=⋅答案C.
11.在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（D
）
A.2
B.3
C.5
D.前三个答案都不对
解答：根据AD 垂直BC 于D，且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12，则三角形ABD 的内切圆半径为
5121322+-=，三角形ACD 的内切圆半径为12915
32
+-=，则ABD ∆和
ACD ∆
的内切圆圆心之间的距离为d =
.答案D.
12.ABC ∆的内角A，B，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =
-，则B
A
tan tan 等于（A ）A.2
B.1
C.
21
D.前三个答案都不对
解答：根据正弦定理
()11
sin cos sin cos sin sin 33
A B B A C A B -==+展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan A
A B B A B =⇒
=.13.设实数y x ，满足14
22
=+y x ，则1243-+y x 的取值范围为（B ）
A.[)+∞,0
B.[]
13
212132-12+，C.[]
13
212,0+  D.前三个答案都不对
解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则
()
34126cos 4sin 122121222x y θθθϕ⎡+-=+-=+-∈-+⎣
，
答案B.
14.过椭圆14
92
2=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，
过切点的直线与坐标轴交于Q P ，两点，O 为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（
B
）A.
2
1  B.
32  C.
4
3  D.前三个答案都不对
解答：记()22
00
00,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，000012222POQ
S x y x y ∆==，另一方面2200001943
x y x y =+≥，所有0022
.3POQ S x y ∆=
≤答案B.
15.设正实数b a ，满足1=+b a ，则
3
27
1b a +的最小值为（A ）A.
2
13
1347+  B.
2
13
1555+  C.218
D.前三个答案都不对
解答：记1a b =-，3127,1u b b =
+-则()241811du db b b =--，令()24
18101du db b b =-=-，根据10,0a b b =->>，则()29912b b b -+=-⇒=（舍负），代入可得327
1b
a +的最小值为2
13
1347+.答案A.
16.在正方体1111D C B A ABCD -中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（A
）
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线一支的一部分
D.前三个答案都不对
解答：1
145DDM DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.17.已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且3
21π
=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（D
）
A.3
2  B.
3
C.
33
1  D.前三个答案都不对
解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论：
122212tan cot 33
F PF S b b ππ
∆==，于是22213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和12
11e e +=，根据柯西不等式