清华北大自主招生模拟试题
说明：第1--4题每题15分,第5--6题每题20分,试卷总分为100分.
1.求最小的正实数,使得对所有的正实数都成立.
2.如图,已知分别与等边三角形的三边相切于点,设劣弧上的点到三边的距离依次为,求证:.
3.设定义在上的函数的最大值为,求的最小值.
4.如图,是边长为的正六边形的中心,一条路径是指从点出发,沿着线段又回到点,求长度为的路径条数.
5.已知非直角三角形的最小边长为,且,其中符号表示不超过实数的最大整数,求的面积？
6.已知函数的图像在点处的切线方程为.
(1)将用表示出来；
(2)若在上恒成立,求的取值范围；
(3)求证:对所有正整数,都有.
自主招生模拟试题答题纸
1.
2.
3.
4.
5.
6.
北大自主招生
参考答案
1.求最小的正实数,使得对所有的正实数都成立.
解:首先令,则有.   
其次,证明:对所有的正实数都成立.
            由于,同理可得:,.
            以上三式相加即得:.
  综上可知,所求的最小值为.
2.如图,已知分别与等边三角形的三边相切于点,设劣弧上的点到三边的距离依次为,求证:.
证明:如图,以为原点,所在直线为轴建立坐标系,不妨设的半径为,则点坐标为,则由题意可得:
    直线的方程为:；
    直线的方程为:；
    直线的方程为:.
由点到直线的距离公式可得:
   
.
    故,成立.
3.设定义在上的函数的最大值为,求的最小值.
解:由题意可知对任意的都有,则:
    , ,.
  故
        .
  即,.事实上,当时,在上的最大值为.
  所以,实数的最小值为.
4.如图,是边长为的正六边形的中心,一条路径是指从点出发,沿着线段又回到点,求长度为的路径条数.
解:由题意设从点出发沿着线段又回到点,且长度为的路径条数为,从点出发沿着线段到点,且长度为的路径条数为,则有.
  又由于,故可求得.
从而可得长度为的路径条数.