第26讲 图形的对称
1．轴对称与轴对称图形
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
注意：轴对称图形是一个图形，轴对称是针对两个图形；轴对称图形的对称轴可能不止一条，轴对称的两个图形只有一条对称轴．
2．图形轴对称的性质
(1)轴对称性质：成轴对称的两个图形全等，对应边和对应角分别相等；如果两个图形关于某条对称轴对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线；
(2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段，对应角相等．
(3)常见轴对称图形
线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、正多边形、圆等．
3．中心对称
(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点；
(2)性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；成中心对称的两个图形全等．
4．中心对称图形
(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称中心，这个点就是它的中心对称图形；
(2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等．
5．中心对称与轴对称的区别与联系
区别：中心对称有一个对称中心——点，图形绕一点旋转180°，旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴——直线，图形沿直线翻折，翻折后与另一个图形重合．
联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
6．图形的折叠
(1)折叠部分的图形折叠前后，关于折痕成轴对称，且两图形全等；
(2)折叠前后对应点的连线段被折痕垂直平分．
考点1：图形的对称
【例题1】（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
归纳：判断一个图形是否为轴对称图形的方法是：能否到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
对称剪纸图案考点2：轴对称与中心对称的应用
【例题2】（2019•广西北部湾•8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是
A（2，－1）、B（1，－2）、C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;
（3）请写出A1、A2的坐标.
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）A 1（2，3），A2（-2，-1）．
【解析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
归纳：1．边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形．2．两个正多边形的组合图形，边数都是奇数或一个是偶数，一个为奇数，可能是轴对称图形，但一定不是中心对称图形．
考点3：图形的折叠问题研究
【例题3】如图所示，直线l1与两坐标轴的交点坐标分别是A(－3，0)，B(0，4)，O是平面直角坐标系原点．
(1)求直线l1的函数解析式；
(2)若将AO沿直线AC折叠，使点O落在斜边AB上，且与AD重合．
①求点C 的坐标；
②求直线AC ，直线l 1和y
轴所围图形的面积．
【解析】：(1)设直线l 1的函数解析式为y ＝kx ＋b.
∵A(－3，0)，B(0，4)在直线l 1上，
∴解得{－3k ＋b ＝0，b ＝4，){k ＝43
，b ＝4.)
∴直线l 1的函数解析式为y ＝x ＋4.
43(2)①∵A(－3，0)，B(0，4)，
∴OA＝3，OB ＝4.
∵∠AOB＝90°，∴AB＝5.
由折叠性质可得，AD ＝AO ＝3，CD ＝CO ，∠ADC＝∠AOC＝90°.
设OC ＝x ，则CD ＝x ，BC ＝4－x.
∵∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°.
在Rt △BDC 中，∵BD＝AB －AD ＝5－3＝2，CD ＝x ，BC ＝4－x ，
∴22＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝.
32∴C(0，)．
32②由图可知，直线AC ，直线l 1和y 轴所围图形是△ABC，
∵S △ABC ＝BC·OA ＝×(4－)×3＝，
121232154∴直线AC ，直线l 1和y 轴所围图形的面积为.
154归纳：1．对折实际上就是轴对称．2．解决剪纸问题的实质是按折叠的顺序反向作轴对称图形即可．3．还可以通过实际操作进行验证．
一、选择题：
1. （2018•天津）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB
【答案】D
【解答】解：∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴BE=BC．
∵AE+BE=AB，
∴AE+CB=AB，
故D正确，
故选：D．
2. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′，CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；
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