沙漠探险问题
【例1】两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线前进,每车最多能带20汽油(连同油箱内的油)。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米,两车都必须返回出发地点,两辆车均可借对方的油,为了使一辆车尽可能地远离出发点,那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方?
【例2】在一个沙漠地带,汽车每天行驶200千米,每辆汽车载运可行驶24天的汽油.现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完成任务后,沿原路返回.为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他的油给甲车.求甲车所能开行的最远距离.
【例3】一个旅游者于是10时15分从旅游基地乘小艇出发,务必在不迟于当日13时返回。已知河水速度为1.4千米/小时,小艇在静水中的速度为3千米/小时,如果旅游者每过30分钟就休息15分钟,不靠岸,只能在某次休息后才返回,那么他从旅游基地出发乘艇走过的最大距离是____千米。
【例4】某沙漠通讯班接到紧急命令,让他们火速将一份情报送过沙漠。现在已知沙漠通讯班成员只有靠步行穿过沙漠,每个人步行穿过沙漠的时间均为12天,而每个人最多只能带8天的食物,请问,在假定每个人饭量大小相同,且所能带的食物相同的情况下,沙漠通讯班能否完成任务?如果能,那么最少需要几人才能将情报送过沙漠,怎么送?
【例5】甲、乙两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可携带一个人24天的食物和水.⑴ 如果不准将部分食物存放在途中,问其中一人最远可以深人沙漠多少千米(当然要求二人最后返回出发点)?⑵ 如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用,情况又怎样呢?
【例6】有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车,每辆车最多能携带可供一辆车行驶312千米的汽油.显然,5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠.于是,他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下,让一辆车穿越沙漠,当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油.问:穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
【例7】科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于600千米的沙漠,但这辆车每次装满汽油最多只能驶600千米,队长想出一个方法,在沙漠中设一个储油点A,越野车装满油从起
点S出发,到储油点A时从车中取出部分油放进A储油点,然后返回出发点,加满油后再开往A,到A储油点时取出储存的油放在车上,从A出发点到达终点E.用队长想出的方法,越野车不用其他车帮助就完成了任务,那么,这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少千米?
【例8】有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园,它一共摘了300根香蕉,然后要走1000米才能到家,如果它每次最多只能背100根香蕉,并且它每走10米就要吃掉一根香蕉,那么,它最多可以把多少根香蕉带回家?
【参考答案】
【例题1】
【解析】甲乙两车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线前进, 每车最多能带20桶汽油(连同油箱内的油)。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米,两车都必须返回出发地点。为了使一辆车(例如甲车)尽可能地远离出发点,则甲、乙车同行,各耗掉a桶油时,乙车停下,并把甲车加满油(恰好加a桶),还需留下2a桶油供甲车返回到此地时补给甲(a桶)和自己(a桶)供返回原地时用所以乙车20桶=4a,a=5桶即甲车共向乙车最多借2a=10桶油 所以甲车最远可达到离出发点(10+20)*60/2=900千米远的地方必须返回
【例题2】
【解析】3200
【例题3】
【解析】先逆水行30分,行(3-1.4)×30/60=0.8千米。休息15分。艇退1.4×15/60=0.35千米。再逆水行30分,行(3-1.4)×30/60=0.8千米。休息15分。艇退1.4×15/60=0.35千米。艇距基地(0.8-0.35)×3=1.35千米。1.35/(3+1.4)=0.31小时=19分。共用时:(30+15)×3+19=154分。是12时49分。共行路程:(0.8+0.35)×3+(0.8-0.35)×3=0.8×6=4.8千米 。
【例题4】
【解析】能,最少需要3人。送法如下:3人同时出发,同吃第一个人的食物,共同走2天后,第一人只剩2天的食物,正好够他返回时吃;第二人和第三人再共同前进2天,吃第二人的食物,这样第二人只剩4天的食物,又正好够他返回时吃这样,第三人还有8天的路程,正好他还有8天的食物,因此便可以突起沙漠,完成送情报的任务。
【例题5】
【解析】⑴ 怎么才能让其中一人走得最远呢?只能是另一人在某个地方将自己的部分食物和水(注意必须留足自己返回所需)补给第一个人,让他仍然有24天的食物和水,这样才能走得最远.
如图所示,不妨设甲从A点出发,走了x天后到达B点处返回,甲在B点处留足返回时所需x天食物和水后,将其余食物与水全部给乙补足为24天.此时相当于甲的24天的食物和水供甲走2个x天和乙走1个x天,故有x=24÷(2+1)=8(天).所以甲应在第8天从B点处返回A.因为乙在B点已经消耗了8天的食物和水,但同时在B点甲又给乙补充了8天的食物和水,所以此时乙身上仍然携带有24天的食物和水.由于乙也要返回,所以乙最多只能往前走(24-8)÷2=8(天)的路程到达C处,就必须返回.所以其中的一人最远只能深入沙漠20×(8+8)=320(千米).
(2) 如果允许存放部分食物和水于途中,则同上面分析类似,甲走了y天后不仅要补足乙的
食物和水,还要存足y天的供乙返回时消耗的食物和水.
即甲的24天的食物和水供甲、乙各走2个y天,所以y=24÷4=6(天).此时的乙不仅补足了24天的食物和水,而且甲还给他预留了返回的食物和水.所以乙就可以带着身上24天的食物和水继续往沙漠深处走12天后再返回,取得甲事先存放的食物和水后,然后再返回出发地.因此,乙共可深入沙漠20×(6+12)=360(千米).
【例题6】
【解析】首先得给这5辆吉普车设计一套行驶方案,而这个方案的核心就在于:其中的4辆车只是燃料供给车,它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下,为第5辆车提供足够的燃料.
如图所示,5辆车一起从A点出发,设第1辆车到B点时留下足够自己返回A点的汽油,剩下的汽油全部转给其余4辆车.注意,B点的最佳选择应该满足刚好使这4辆车全部加满汽油.
剩下的4辆车继续前进,到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油,剩下的汽油全部转给其余3辆车,使它们刚好加满汽油.
剩下的3辆车继续前进……到E点时,第4辆车留下返回A点的汽油,剩下的汽油转给第5辆车.此时,第5辆车是加满汽油的,还能向前行驶312千米.
沙漠探险
以这种方式,第5辆车能走多远呢?我们来算算.
5辆车到达B点时,第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上,加上自己往返AB的汽油,所以应把行驶312千米的汽油分成6份,2份自己往返AB,4份给另外4辆车每辆加1份,刚好使这4辆车都加满汽油.因此AB的长为:312÷6=52(千米).
接下来,就把5辆车的问题转化为4辆车的问题.4辆车从B点继续前进,到达C点时,4辆车共消耗掉4份汽油,再加上第2辆车从C经B返回A,所以第2辆车仍然要把汽油分成6等份,3份供自己从B到C,再从C返回A,3份给另外3辆车加满汽油,由此知BC长也是52千米.同样的道理,CD=DE=52(千米).
所以第5辆车最远能行驶:52×4+312=520(千米).
【例题7】
【解析】汽车从起点S行驶到A点时,首先要消耗掉往返SA间路程的油,留下的油要保证再次到A点时油箱还是满的,所以这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是600÷3+600=800(千米)
【例题8】
【解析】首先,猴子背着100根香蕉直接回家,会怎样?在到家的时候,猴子刚好吃完最后一根香蕉,其他200根香蕉白白浪费了!折返,求最值问题,我们需要设计出一个最优方案.300÷100=3.猴子必然要折返3次来拿香蕉.我们为猴子想到一个绝妙的主意:在半路
上储存一部分香蕉.猴子的路线:
这两个储存点A与B就是猴子放置香蕉的地方,怎么选呢?最好的情况是:
(一)当猴子第①③④次回去时,都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉.