2.2突破训练：分式方程应用类型题举例
类型体系（本专题共60题43页）
类型1：根据分式方程的解得情况求字母系数
典例：（2020·北京师大附中八年级期中）当为何值时，关于的方程的解为负数
【答案】且
【详解】
解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
∵方程的解为负数，且使得分式有意义，
∴，解得且．
方法或规律点拨
本题考查解分式方程、分式有意义的条件、解不等式组，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．7    B．8    C．14    D．15
【答案】C
【详解】
解：解不等式组，得，
不等式组无解，
，
．
解分式方程，得，
为非负整数，，
或1或3或5或7，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
符合条件的所有整数的和是，
故选：．
2．（2020·河北顺平县·九年级一模）关于x的方程的解是正数，m的值可能是（ ）
A．    B．
C．0    D．-1
【答案】B
【详解】
，
，
，
由题意可得：且，   
m>且m≠．
故选：B．
3．（2020·唐山市第五十四中学八年级月考）已知分式方程的解为负数，则m的取值范围是________．
【答案】
【详解】
在分式左右两边同乘，得：，解得：，
由题意：，解得：，
又，，解得：，
故答案为：．
4．（2020·乐山博瑞特网络科技有限公司九年级期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___．
【答案】且k≠0
【详解】
解：由可得：，
∵分式方程的解为正数，且x≠±1
∴，1-2k≠±1
∴且k≠0
故答案为且k≠0
5．（2019·湖南常德市·九年级一模）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
【答案】且
【详解】
解：∵
去分母得：
解得：
因为方程的解为正数，
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴m的取值范围为：且
故答案为：且．
6．（2020·福建省泉州第一中学八年级月考）已知关于x的分式方程＝3的解是正数，那么字母m的取值范围是______．
【答案】m＜﹣3
【详解】
解：2x﹣m＝3x+3
∴2x﹣3x＝m+3
∴x＝﹣m﹣3
∵x＞0，且x+1≠0，
∴x＞0
∴﹣m﹣3＞0
∴m＜﹣3
故答案为：m＜﹣3．
7．（2020·襄汾县第二初级中学校八年级期末）若关于x的分式方程＝1的解为正数，求m的取值范围．
【答案】m＞2且m≠3．
【详解】
解：去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，
解得：m＞2且m≠3，
故答案为：m＞2且m≠3．
8．（2020·山东广饶县·丁庄镇中心初级中学八年级月考）若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围
【答案】，且
【详解】
解：分式方程化为整式方程后得，，
整理得，，
，
关于的方程的解为正数，
且，
解得：，且，
的取值范围是：，且．
9．（2020·山西襄汾县·八年级期中）已知关于的分式方程的解为正数,求的取值范围．
【答案】且
【详解】
解：
解得：x=2＋k
∵关于的分式方程的解为正数，
∴
∴
解得：k＞﹣2且k≠﹣1．
类型2：分式方程增根或无解问题
典例：（2020·晋州市第三中学八年级月考）（1）若解关于 x的分式方程会产生增根，求 m的值．
（2）若方程的解是正数，求 a的取值范围．
【答案】（1）m=-4或6；（2）a＜2且a≠-4
【详解】
解：（1）方程两边都乘（x+2）（x-2），得
2（x+2）+mx=3（x-2）
∵最简公分母为（x+2）（x-2），
∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=-4．
把x=-2代入整式方程，得m=6．
综上，可知m=-4或6．
（2）解：去分母，得2x+a=2-x
解得：x=，
∵解为正数，
∴＞0，
∴2-a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠-4
∴a＜2且a≠-4．
方法或规律点拨
本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
巩固练习
1．（2020·河北高邑县·八年级期中）若关于x的分式方程－2＝无解，则m的值为（    ）
A．0    B．2    C．0或2    D．无法确定
【答案】C
【详解】
方程两边都乘以（x-3）得：
整理得：（m-2）x=2m-6，
由分式方程无解，
一种情况是未知数系数为0得：m-2=0，m=2，
一种情况是方程有增根得：x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=0，
故选择：C．
2．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）
A．1    B．2    C．1或分式方程练习题2    D．0或1或2
【答案】C
【详解】
去分母得：ax＝4+x-2，
整理得：（a-1）x＝2，
x=
由分式方程无解，得到a-1＝0或x＝2=，
解得：a＝1或a＝2，
故选：C．
3．（2017·山西九年级专题练习）如果关于的分式方程无解，那么的值为（    ）
A．4    B．    C．2    D．
【答案】B
【详解】
解关于的分式方程，
去分母得m+2x=x-2，
移项得x=-2-m，
分式方程无解，
x=2，
即-2-m=2，
m=-4，
故选择：B．
4．（2020·山东广饶县·丁庄镇中心初级中学八年级月考）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ）
A．    B．    C．3    D．
【答案】A
【详解】
解：由得，
关于的方程有增根，
，
当时，，
解得，
故选：A．
5．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校八年级月考）如果关于x的方程无解，则m的值等于（    ）
A．﹣3    B．﹣2    C．﹣1    D．3
【答案】B
【详解】
解：方程去分母得，，
解得，，
当分母即时方程无解，
也就是时方程无解，
则，
故选：B．
6．（2020·唐山市第五十四中学八年级月考）已知分式方程无解，则_________．
【答案】2或0
【详解】
解：去分母得：x+1＝a，
由分式方程无解，得到x＝1或x＝-1，
把x＝1代入整式方程得：a＝2，
把x＝-1代入整式方程得：a＝0，
故答案为：2或0．
7．（2020·贵州玉屏侗族自治县·八年级期末）若分式方程＝无解，则增根是_________
【答案】
【详解】
解：∵分式方程无解
∴分式方程有增根