定积分的背景
数学王乃雪江西高安二中
【教学目标】
1.知识目标
2.能力目标
通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤分析问题的方法，从而培养学生的逻辑思维能力；体会“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。
3. .情感目标
对不同背景下的问题中蕴含的统一数学内涵的过程的揭示，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴含的理性美产生发自内心的欣赏情感。
【教学重难点】
1.教学重点
了解以直代曲、逼近的数学思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。
2.教学难点
曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。
【教学过程】
一、创设情境，引入新课
介绍我国魏晋时期的数学家刘徽以与他的“割圆术”：
刘徽(约公元225年—295年)，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。他的杰作《九章算术》，是中国最宝贵的数学遗产，影响、
支配中国古代数学的发展1000余年，是东方数学的典范
之一，与希腊欧几里得的《几何原本》所代表的古代西方数学交相辉映。
他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理；定义许多重要数学概念解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题；创造了割圆术，运用极限观念计算圆面积和圆周率。
在右图中的圆内作内接正多边形，通过变量来改变正多边形的边数，用正多边形面积来近似估计圆的面积。
提问：
1.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗？可以用正12边形来表示吗？
2.要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确，应该怎么办？
3.用内接正多边形的面积来表示圆的面积，怎么计算圆周率π？
割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。
——刘徽
二、新课讲授
O
O
圆内接正6边形圆内接正12边形
y
刘徽（约公元225年—295年）
曲边梯形的概念：
由三条直线x 轴、x=a 、x=b 和一条曲线2x y =围成的封闭图形，就叫做曲边梯形。
提问：我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法，那怎么求曲边梯形的面积？
探究一、求曲边梯形的面积
问题1：求由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成图形的面积
（一） 分割
为了计算曲边梯形的面积S ，将它分割成许多小曲边梯形，如下图所示。
（二） 近似代替
提问：
1.我们将曲边梯形分割后，可以用图1或者图2中的小矩形的面积和来代替由x 轴、x=a 、x=b 和曲线2x y =围成的图形的面积吗？
图1
图2图3
2.如果还有比较大的误差，我们可以怎么做使误差变小？
3.将区间[0,1]分的越细，误差越小吗？
在图1和图2中不断增加小矩形的数量，得到的阴影部分的面积会越来越接近由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成的
面积，而图3中的面积会越来越小，直至无限接近于0.因此，只要区间分的够细小，我们就可以用图1或者图2中的矩形的面积来近似代替由x
轴、x=a 、x=b 和曲线2x y =围成的图形的面积。下面以图1为例求不足近似的面积。
把区间[0，1]等分成n 个小区间：]1,1
[,],,1[
],2,1[],1
,0[n
n n i n i n n n
-- ；
每个区间长度为n 1，第i 个小矩形的高度为2
)1(n
i -，所以第i 个小矩形的面
积为2
)1(1n
i n -⨯。
（三） 求和
)
12n (n )1n (6
1
n 1])1n (210[n 1]
)1()1()1()0[(1S S S S 3222232
222n 21--⨯=-+⋅⋅⋅+++=-++-+++=+⋅⋅⋅++=n
n n i n n n
（四） 逼近(求极限)
当分割无限变细，即+∞→n 时，3
1
圆的面积教学设计)12n (n )1n (61n 13→
--⨯=S ，所以所求曲边梯形的面积为3
1
。
练习1：仿照上面求不足近似面积的方法求图2中由x 轴、直线x=1和曲线2x y =围成的图形的过剩近似面积
探究二、变速运动的路程问题 提问:
1.匀速直线运动路程公式是什么？
2.若以时间为横坐标，速度为纵坐标建立坐标系，那么路程可以用什么表示？
3.如果是变速直线运动，路程怎么求？
问题2：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中汽车的速度v 是时间t 的函数：)50(2510)(2≤≤+-=t t t t v ，请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s 。
用横坐标表示时间，纵坐标表示速度，可以得到速度关于时间的函数图象如右图所示。
提问:
1. 仿照问题1中的近似方法将时间区间[0,5]5等分，得到的不足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算？将区间[0,5]10等分呢？
2. 哪种分法得到的面积误差较小？，如果还要使误差更小，怎么办？ 首先将滑行时间5等分，若用)4(),3(),2(),1(),0(v v v v v 近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是)(551)]4()3()2()1()0([1m v v v v v s =⨯++++=；若用)5(),4(),3(),2(),1(v v v v v 近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离
是)(301)]5()4()3()2()1([1
m v v v v v s =⨯++++='。 为了使误差更小，将滑行时间10等分，用类似的方法求得过剩近似值为)(125.485.0)]5.4()4()5.1()1()5.0()0([2m v v v v v v s =⨯++++++= ；不足近
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