“球的体积和表面积”教学设计
一、教学内容解析
本节课的内容是人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》（以下统
称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.
本节课教学重点：研究球的体积和表面积.
二、教学目标设置
结合课标要求，本节课制定如下教学目标：
1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；
2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；
3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.
三、学生学情分析
(一)已具备的认知基础
1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；
2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割
的思想或方法.
（二）可能存在的认知困难
对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？
因此，本节课难点：极限法的分割方式；应用祖暅原理怎样构造组合体. 四、教学策略分析
本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.
五、教具准备
各种球模型（实心球、空心球）、橙子、圆葱、马铃薯、自制圆形切割模板、圆规、多媒体课件、geogebra软件.
六、教学过程设计
（一）复习引入、提出问题
1.复习引入
前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积. 我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”. 那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？
2.提出问题
问题1：通过前期的学习和查阅资料，发现了有哪些方法可以研究圆的周长？
预设回答1：测量法求周长.
预设回答2：极限法求周长.
【设计意图】1.通过查阅资料，让学生回顾以直代曲，转化的思想，为测
量法研究球的体积做铺垫；
2.引入极限思想，为极限法研究球的体积做好铺垫.
问题2：你们又发现了哪些研究圆面积的方法呢？
预设回答：极限法求面积.
a) 如图1所示.
图1
b) 如图2所示.
图2
c) 如图3所示.
图3
【设计意图】自主探究圆的不同切割方法，通过对圆的面积无限分割，体现极限思想，为研究球的体积做好铺垫.
（二）自主探究、合作交流
问题3：刚刚同学们展示了圆的周长和面积的研究方法，那么我们能不能类比研究圆的方法来研究球的体积和表面积呢？下面请同学们分小组讨论.
预设回答1：测量法求球的体积.
预设回答2：极限法求球体积.
a) 如图4所示.
图4
b) 如图5所示.
图5
c) 如图6所示.
图6
【设计意图】1.让学生动手实验，如切割实物马铃薯和橙子及多媒体动画展示，化抽象为具体. 帮助学生提升直观想象的核心素养；
2.通过小组合作，培养学生合作交流的能力，增强团队意识.
（三）数学建模、公式推导
以上有两名同学通过分割的方法，将球的体积等价转化为可求体积的几何体，这种等价转化的方法，我国古代数学家祖暅已经给我们提供了理论依据.祖暅原理告诉我们这样一个事实：幂势既同，则积不容异.
如图7所示.
图7
祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才给出上述结论. 卡瓦列里提出线是由点构成的、面是由线构成的、体是由面构成的无限细分积零为整的概念，并把面积称为体积的不可分量.卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这个原理，
就能解决许多求体积的问题.只用初等数学方法，而不需用微积分方法.
师：怎样通过祖暅原理求球的体积？
师：根据祖暅原理构造几何体的要点是？
师：半球更容易稳定的放置在桌面上，球是关于轴截面对称的几何体，如图8所示，我们研究半球的体积V与半径R的关系，就可以得到球的体积V与半径R的关系.
图8
问题4：能否用已经学过的几何体组合成一个新的几何体来代替半球的体积？这个新的组合体应该怎样组合？如图9所示.
图9
师：为什么挖去的倒置圆锥截面圆半径为h？如图10所示.
圆的面积教学设计
图10
师：用动画演示，来更好的理解等高下截面积相等. 如图11所示.