教学设计说明
1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
一、教学内容解析：
杨辉三角是一个特殊的数阵。探究杨辉三角中的数字规律，有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。
同时通过欣赏分形、斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，激发对数学的学习兴趣。另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察、归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。
二、教学目标设置：
1、知识与技能：
1、从不同的角度，研究杨辉三角所蕴含的规律，并用组合数表示；
2、通过本节课的研究，归纳出杨辉三角的研究方法；
3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。
2、过程与方法：
1、通过探究杨辉三角的数字规律，学会观察和分析问题，运用联系、类比的观点看待问题，从而解决问题，并能培养学生“从特殊到一般”进行归纳猜想的能力；
2、通过自主探究与合作交流，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯；
3、通过从不同角度探究问题，体会再发现再创造的过程，发展创造性思维。
3、情感态度与价值观：
1、以历史文化的实例引入，激发学生的学习兴趣，提升学生的民族自豪感；
2、通过归纳性思维的训练，养成踏实细致，严谨科学的学习习惯；
3、通过探索杨辉三角中的数字规律，形成独立思考、合作交流等良好的学习习惯，以及勇于批判、敢于创新的精神。
三、学生学情分析：
知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。
能力结构：作为正始中学高二创新班的学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，适时的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当的引导。
四、教学策略分析：
因为发现杨辉三角中的部分数字规律有一定的难度，本节课采用的是学生自主探究为主，教师引导探究为辅的探究课类型。为了让学生感受数学的趣味性，本节课具体采用的是自主探究与合作交流相结合的探究方式。探究时采用个人独立思考后小组合作互动的方式，重点在于发现数阵中的规律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会发现和创造的趣味感，发展学生的创造性思维。
多媒体辅助教学的应用，节省时间，增大信息量，增强直观形象性。提倡学习方式的多样化，本节课从情境引入→发现数字规律→利用组合数表述结论→证明结论，始终坚持让学生主动参与，亲身实践。在学生合作、师生互动中，学生真正成为知识的发现者和研究者。在这样的课堂中，不仅学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及到的数学思想得以领会。
五、教学过程：
【教学目标】
1、从不同的角度，研究杨辉三角中所蕴含的规律，并用组合数表示；
2、通过杨辉三角的研究，总结归纳出杨辉三角的研究方法；
3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。
【教学重点】通过不同的角度研究杨辉三角，得到杨辉三角的性质，并最终总结出一般数阵的研究方法。
【教学难点】将杨辉三角的规律用组合数来进行总结。
【教学过程】
1.1、引经据典，步入新课
(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以
说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
题西林壁教学设计今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——“杨辉三角”。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来看一下。
【设计意图】新课标中提倡体现数学的文化价值。在教学中通过历史知识引入课堂，既让学生了解一些数学史，激发学生的兴趣，同时培养学生的民族自豪感。通过数阵的概念引入本节课，能引发学生的思考，为后续探究其他数阵做好铺垫。学生不是只为研究杨辉三角而研究杨辉三角，而是能通过杨辉三角的研究，总结出一般数阵的研究方式。
1.2复习回顾，总结已知
杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么，我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？
①：贾宪在他的《开方作法本源图 》中写道：“左衺乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉”，用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成1
1,--=r n r n C
a
②：杨辉三角每一行之和为2的n-1次，
组合数表示：n
n n n n r n n n n C C C C C 1210=+++++-
③：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r
n r n r n C C C =+---111，
这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
④：杨辉三角是左右对称的：r
n n r n C C -=
【设计意图】通过教师提问，学生回答的方式，让学生回顾前面所学杨辉三角的内容，即起到承上的作用，也为接下来的研究做好铺垫。其中，杨辉恒等式能够让学生更容易发现和证明规律，而用组合数表示杨辉三角，能够让学生更容易总结出规律，是本节课研究的关键。
2.1小组合作，共探新知
在研究之前，我们首先需要来一起探讨一下，该如何去研究杨辉三角呢？ 苏轼有一首诗对我很受启发。
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是苏轼的《题西林壁》。这首诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时，是不是也可以从这些“横看”， “侧看”，“远看（整体）”，“近看（局部）”等角度出发呢？下面，就让我们4人一组，从这四个角度出发，用数字格式的杨辉三角观察规律，用组合数格式的杨辉三角总结规律，并加以证明。
(182856705628811)
7213535217116152015611
51010511
46411331121111 0
12100
121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021
1
01 (1)
n
n n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----
【设计意图】导学案中已经为学生准备了两个杨辉三角，一个用数字表示，一个用组合数表示。我要求学生从数字表示的杨辉三角中寻规律，从组合数表示的杨辉三角中总结规律，并加以证明。这体现了“观察——归纳——猜想——证明”的数学研究理念，并且通过小组合作的方式，既能降低探究的难度，也能培养学生的合作意识，提高学生的学习兴趣。
12100
12111121
11
01
665646362616065
545352515054434241
40433231
3032
21
2021
10
<1n n n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----
2.2 小组展示，分享所得
杨辉三角的性质 角度一：横看
①：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数
n n n n n n C C C C 222120)...()()(=++
思路：既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？ 证明：由二项展开式可得
n n n r r n n n n
n r n r n n n n n n n n r r n n n n
n n x
C x C x C C C x C x C x C x C x C x C C x x )......()......()1()1()1(++++=++++⨯++++∴+=+⨯+--Θ
取其中的x n 项
等式左边[]
n
n n n n x C C C ⨯++=22120)...()()(
等式右边n
n n x C 2=
由于等式两边相等，所以x n 项的系数也相等，即：
n n
n n n n C C C C 222120)...()()(=++
②：杨辉三角每一行数字错一位叠加就得到11的若干次
证明：由二项展开式n
n n n n n r r n n n n n x C x C x C x C x C C x +++++=+--112210 (1)
赋值x=10得到
n n
n n n n r r n n n n n n C C C C C 10...101011)101(112210⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+==+--
因此，115
=1×100000+5×10000+10×1000+10×100+5×10+1
在杨辉三角中，把第n 行中的数字错位排列相加，
其和就是11n-1
③：第1,2,4,8,16…这些行即2k （k 是自然数）行的各个数字均为奇数，第2k
+1行除两端的1之外都是偶数。
④：第p+1（p 为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p 整除，其逆命题也
成立，即对任意r ∈{1，2，…，n-1}，都有n C n r
n ⇔|是素数。
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