2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本
《等差数列的性质》
一、选择题
1.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2＋b 2=100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项值为( )
A ．0
B ．37
C ．100
D ．-37
2.如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5
B ．a 1＋a 8=a 4＋a 5
本aC ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5
D ．a 1a 8=a 4a 5
3.由公差d≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )
A ．新数列不是等差数列
B ．新数列是公差为d 的等差数列
C ．新数列是公差为2d 的等差数列
D ．新数列是公差为3d 的等差数列
4.在数列{a n }中，a 3=2，a 7=1，如果数列是等差数列，那么a 11等于( ){1an ＋1}
A. B. C. D ．1131223
5.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )
A ．-2
B ．-3
C ．-4
D ．-5
6.若方程(x 2-2x ＋m)(x 2-2x ＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=( )14
A ．1 B. C. D.341238
二、填空题
7.在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2-3x-5=0的根，则a 5＋a 8=________．
8.数列{a n }满足递推关系a n =3a n-1＋3n -1(n∈N *，n ≥2)，a 1=5，则使得数列
为等差数列{an ＋m 3n }
的实数m 的值为________．
9.已知数列{a n }满足a 1=1，若点在直线x-y ＋1=0上，则a n =___________．(an n ，an ＋1n ＋1)
10.若数列{a n }为等差数列，a p =q ，a q =p(p≠q)，则a p ＋q =______________．
三、解答题
11.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5=30，a 6＋a 7＋…＋a 10=80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.
12.已知无穷等差数列{a n }，首项a 1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数
列{b n }．
(1)求b 1和b 2；
(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？
13.在数列{a n }中，a 1=1，3a n a n-1＋a n -a n-1=0(n≥2，n ∈N *)．
(1)求证：数列是等差数列；{1an
}
(2)求数列{a n }的通项公式．
答案解析
1.答案为：C ；
解析：设c n =a n ＋b n ，则c 1=a 1＋b 1=25＋75=100，c 2=a 2＋b 2=100，
故d=c 2-c 1=0，故c n =100(n∈N *)，从而c 37=100.
2.答案为：B ；
解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8=a 4＋a 5.
3.答案为：C ；
解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)-(a n ＋a n ＋2)=(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋3-a n ＋2)=2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．
4.答案为：B ；
解析：依题意得＋=2·，所以=-=，所以a 11=.1a3＋11a11＋11a7＋11a11＋121＋112＋12312
5.答案为：C ；
解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6=a 1＋5d>0，a 7=a 1＋6d<0.
又因为a 1=23，所以即-<d<-，又因为d 是整数，所以d=-4.{d >－235，d <－236，)
2352366.答案为：C ；
解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4=a 2＋a 3=2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d=2，
因为a 1=，所以d=，所以a 2=＋=，a 3=＋1=，a 4=＋=，14121412341454143274
所以|m-n|=|a 1a 4-a 2a 3|==.|14×74－34×54|
127.答案为：3；
解析：由已知得a 3＋a 10=3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8=a 3＋a 10=3.
8.答案为：- ；12
解析：a 1=5，a 2=3×5＋32-1=23，a 3=3×23＋33-1=95，
依题意得，，成等差数列，所以2·=＋，所以m=-.5＋m 323＋m 3295＋m 3323＋m 325＋m 395＋m 3312
9.答案为：n 2
解析：由题设可得-＋1=0，即-=1，所以数列是以1为公差的等差数an n an ＋1n ＋1an ＋1n ＋1an n {an n
}
列，
且首项为1，故通项公式=n ，所以a n =n 2.an n 10.答案为：0；
解析：法一：因为a p =a q ＋(p-q)d ，
所以q=p ＋(p-q)d ，即q-p=(p-q)d ，
因为p≠q，所以d=-1.
所以a p ＋q =a p ＋(p ＋q-p)d=q ＋q×(-1)=0.
法二：因为数列{a n }为等差数列，
所以点(n ，a n )在一条直线上．
不妨设p ＜q ，记点A(p ，q)，B(q ，p)，则直线AB 的斜率
k==-1，如图所示，由图知OC=p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q =0.p －q q －p
11.解：
法一：因为1＋11=6＋6，2＋12=7＋7，…，5＋15=10＋10，
所以a 1＋a 11=2a 6，a 2＋a 12=2a 7，…，a 5＋a 15=2a 10.
所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．
所以a 11＋a 12＋…＋a 15=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)-(a 1＋a 2＋…＋a 5)=2×80-30=130.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．
所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2×80，
所以a 11＋a 12＋…＋a 15=130.
12.解：(1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n =3＋(n-1)(-5)=8-5n ，
设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m=4n-1，n ∈N *，
所以b 1=a 3=8-5×3=-7，
b 2=a 7=8-5×7=-27.
(2)由(1)知b n ＋1-b n =a 4(n ＋1)-1-a 4n-1=4d=-20，
所以新数列{b n }也为等差数列，
且首项为b 1=-7，公差为d′=-20，
所以b n =b 1＋(n-1)d′=-7＋(n-1)×(-20)=13-20n.
(3)因为m=4n-1，n ∈N *，所以当n=110时，m=4×110-1=439，
所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．
发布评论