2.2基本不等式
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.
三、教科书编写意图及教学建议
本节在前面研究不等式的性质的基础上，展开了对一种具体的不等式——基本不等式的研究，研究基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.基本不等式与学生在初中学过的乘法公式有类似的作用，乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形，而基本不等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循.
1.基本不等式
基本不等式可以通过许多有趣的方式建立起来，本节从不等式（上一节由第24届国际数学家大会的会标中抽象得出）说起.取这个不等式的特殊形式，即令，，用，分别代替上式中的，，就得到了基本不等式.基本不等式中等号成立的条件与不等式相同，教学中可以借助上一节的会标图形，帮助学生从直观上理解与是否相等与不等式取什么符号之间的关系.
接下来，教科书阐述了基本不等式的代数解释，这不仅有利于加深学生对基本不等式的理解，而且与学生已有的平均数概念建立了联系，便于学生记忆这个不等式.事实上，基本不等式就是均值不等式“链”
中的一环，而它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为“它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石”，同时它也是解决许多最值问题的有力工具.
2.基本不等式的证明
基本不等式有许多证明方法，学生可能最先想到“作差法”，教科书介绍了两种：一种是上一节借助完全平方公式证明的基本不等式的变式；另一种是本节介绍的“分析法”，这也是一种利用不等式的性质进行证明的方法，这样编排不仅把基本不等式与初中学过的完全平方公式建立了联系，进一步研究了如何利用不等式性质进行证明，而且介绍了分析法，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，能够用分析法证明的命题的证明过程必须具有推理的可逆性和推理结果的唯一性，基本不等式就具有这样的特点.分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体的情况.这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.
教科书按照分析法的格式，从出发，逐步利用不等式的性质推出能使它成立的充分条件，直至这个显然成立的事实，从这个不等式中也更容易发现不等式中等号成立的条件.学生可能对分析法证明的格式和为什么可以这样证明难以理解，在证明过程中可能容易出现“充分条件不充分”的错误.教学中可以结合基本不等式的证明过程，对分析法的原理和过程进行充分的剖析，帮助学生通过典型案例理解分析法，掌握基本不等式的证明.
3，基本不等式的几何解释
在证明了基本不等式后，教科书再次研究了基本不等式的几何背景.与从“赵爽弦图”中的相等关系和不等关系中抽象出基本不等式的变形形式不同的是，这一次是已知基本不等式，寻求它的几何解释，但无论是哪种呈现顺序，基本不等式的几何背景都直观地展示了基本不等式“从不等到相等”的变化过程.
教科书设置这个环节的目的，是想让学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度认识基本不等式，从而加深对基本不等式的理解.这个几何解释可以简单地叙述为“圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等”.教学中可以让学生将和与图中的几何元素建立起联系，从而将基本不等式与几何元素的大小关系之间联系起来.教师还可以借助信息技术，展示点在线段上移动的过程，让学生观察线段的长度与圆的半径长之间的动态关系，从而更好地理解与之间的关系随着，大小关系的变化而发生的变化，同时体会基本不等式中蕴含的“等式”与“不等式”的内在联系.
4.基本不等式在解决问题中的应用
本节共安排了4道基本不等式的应用问题，都是利用基本不等式求最值，例1和例2是在数学中的应用，例3和例4是在实际中的应用.在利用基本不等式解决问题之前，教师可以先让学生明确使用基本不等式的条件（在中，，只能是非负数；在中，，可以是任意实数），以及“当且仅当时，等号成立”的两层含义（一是当时，不等式取等号；二是不等式取等号时，必有）.
例1是用基本不等式求代数式最小值问题中的最简情形.教科书在解决问题之前，先解释了求代数式最小值的含义，在本例之后，还强调了代数式的最小值必须是代数式能取到的值.本例的解答则从所求代数式与基本不等式在形式上的联系入手：是与的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数是一个定值，所以利用基本不等式可得当且仅当时，取得最小值2.教学中可以用“一正、二定、三相等”这种通俗易懂的语言帮助学生理解和记忆能应用基本不等式解决问题的特点.
例2让学生用基本不等式证明两类最值问题.教科书设置例2的目的，一是在例1的基础上再给出一道直接利用基本不等式证明数学问题的例题；二是借此题的题干给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型：已知，都是正数，如果积等于定值，那么当时，和有最小值；如果和等于定值，那么当时，积有最大值.根据这两个数学模型可知，有两类最值问题可以用基本不等式解决，即“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值”和“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值”，这就为解决例3，例4埋下了伏笔.
此外，教科书在本课时的练习和习题安排了利用基本不等式求函数的最大值或最小值的变式练习，如第46页“练习”的第4题，习题2.2的第1题的第（1）小题，是通过变形构造两个正数的和为定值或积为定值的问题，教学中可以根据给定代数式的形式，结合基本不等式的使用条件，引导学生对代数式进行变形.对于这类问题，教科书有意控制了这种变式问题的难度，设置的问题都是通过简单变形就符合基本不等式应用条件的问题.教学中也要注意本部分内容的教学重点是“能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题”，不要刻意加大变形的难度.
5，基本不等式的实际应用
通过例2，教科书提出了用基本不等式解决问题的数学模型.接下来，教科书安排了两道例题，研究了如何应用基本不等式解决实际问题.对这两道例题的教学，要注意引导学生用基本不等式模型理解和识别实际问题中的数量关系，判断它们是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题，如果符合，就可以转化为基本不等式的数学模型解决.
例如，例3的问题可以简化为：当矩形的面积为定值时，长与宽取什么值时周长最短；当矩形的周长为定值时，长与宽取什么值时面积最大，由于矩形的面积是两条邻边的积，周长是两条邻边的和的2倍，所以第（1）小题实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，可以用数学模型“如果正数，的积等于定值，那么当时，和有最小值”解决；第（2）小题实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值，可以转化为数学模型“如果正数，的和等于定值，那么当时，积有最大值”解决.
在例3之后，教科书设置了另一道求最值的问题（例4），本题的背景更加复杂，不容易将其归结为基本不等式模型.因此，对于像例4这样的问题的教学，要引导学生先将问题进行简化，再分析它符合什么数学模型.例4可以简化为“池底的边长取什么值时，水池的总造价最低”，若设池底的相邻两条边的边长分别为m，m，水池的总造价为本a元，则，这样求的最小值的问题，就转化为了求两个正数，的和的最小值的问题；而，的积为定值，于是本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型“如果正数，的积等于定值，那么当时，和有最小值”解决.
教科书在练习和习题2.2中编排了利用基本不等式解决实际问题的题目，这些题目按照由简单到复杂的顺序排列，除了“拓广探索”中的两题，其他题目的难度与例3，4相当，教师在进行本部分内容的教学时也要注意把握实际问题的难度，把重点放在用基本不等式数学模型解决实际问题的基本应用上.
发布评论