2010年 1月 25 日试卷
一．填空题：（每小题4分，共40分）
1. n 阶行列式n D 等于它的任一行（列）的元素与其对应的 乘积之和。
2. 设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21001
10000010010A ，则=-1A 。 3. 设B A ，均为n 阶矩阵，下列命题错误的是 。
（A ）若))((2
2B A B A B A -+=-，则BA AB =； （B ）A B AB ⋅=；
（C ）若B A ，均可逆，则AB 可逆； （D ）T
T
T
B A AB =)(。
4. 若向量组⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αt 243,6312,3021321的秩为2，则=t 。 5. “若向量组s ααα,,,21 线性无关，则其任一部分向量组也线性无关”是 的。
（填“正确”或“错误”）
6. 若n 元线性方程组B AX =有解，r r A =，则当 时，B AX =有唯一解；当 _______时，B AX =有无穷多解。
7. 设二阶矩阵A 满足2
5
,1=
=trA A ，则A 的特征值为 。 8. 如果⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k A 10202001与⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=200020
00
1B 相似，则=k 。 9. “负定矩阵的主对角线元素均为负数”是 的。（填“正确”或“错误”）
10. 设B A ，均为正定矩阵，则下述结论正确的是 。
（A ）AB 是正定矩阵；（B ）B A +是正定矩阵；（C ）B A -是正定矩阵；（D ）B A =。
二．计算题：（每小题5分，共10分）
1．计算行列式0
7840086100921
4
369
1南京理工大学紫金
2405-=D 。2．求矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---=21
1531122122
132
11111k k k A 的秩。 三．（12
分）已知3
R 的两组基⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α173,332,121321与
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β611,125,413321
(1)求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵P ；
(2)若向量γ在基321,,βββ下的坐标为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-011，求γ在基321,,ααα下的坐标。
四．（10分）求线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=--=----=-+3
314623214321421x x x x x x x x x x ，的通解。
五．（12分）用正交变换化二次型32312
22132144),,(x x x x x x x x x f ++-=为标准形，并
求正交变换矩阵。
六．（8分）设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=22001
100001000
11A ， (1)求A 的全部特征值；
(2)问A 是否可以对角化，为什么？ 七．（8分）设n R 中的向量β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示，证明： (1)若s ααα,,,21 线性无关，则s αααβ,,,,21 也线性无关；
(2)若β+αβ+αβ+αβs ,,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 也线性相关。
2010年 1月 25 日答案
1. 代数余子式
2. ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--1100120000
0100
10 3. D 4. 9 5. 正确 6. n r n r <=,
7.2,2
1
8. k=0 9. 正确 10. B
二. 计算题（每小题5分，共10分）：
1.解：4
78001860019
2009
364102
405--=D
46404
781861
924
10
5=--
=
2．（共10分）解：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛----→110
01000000
310
111
11211k k k A 得⎪⎩⎪
⎨⎧≠≠====1
41131212121k k k k k r A
三．（共12分）解：(1)由P ),,(),,(321321ααα=βββ，得过渡矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββααα=--81249209
417127
614121153131732321),,(),,(1
3211321P
(2) γ在基321,,ααα下的坐标为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-81144011P
四．（共10分）解：
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5210041010620112161402571
506201130113111146201
1)|(B A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------→521004*********
得原方程组的同解方程组为⎪⎩⎪
⎨⎧-=--=--=-5
242434241x x x x x x ，解得
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=5
242
434241x x x x x x ， 取04=x ，得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=*
0542X ，
其导出组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===43
424
12x x x x x x ，取14=x ，得导出组的基础解系⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=η1211，
故通解为,12110542⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k X k 为任意常数。
五．（共12分）解：二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=022210201A
)3)(3(2
2
210201+λ-λλ=λ
---+λ--λ=
-λA I 得特征值3,3,0321-=λ=λ=λ。
对01=λ，特征向量为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=ξ1221，
对32=λ，特征向量为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=ξ2122，
对33-=λ，特征向量为⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=ξ2213，
单位化：⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ξξ=η⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=ξξ=η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξξ=
η22131,2123112231333222111， 得正交矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=ηηη=22121
212231),,(321T ，作正交变换Y T X =， 得标准形2
32233y y f -=。
六．（共8分）(1))3()1(22
0011
00100011
2-λλ-λ=-λ-λ-λ--λ=
-λA I
得特征值3,0,)(1321=λ=λ=λ二重。 （2）⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=-λ000
0100
0120
0001
012001000000
00010)(1A I
所以21dim ,3)()(111≠=-==-λλ-λA I A I r n V r ，故A 不可以对角化。
七．（共8分）证明：(1) 假设1,,,s βαα线性相关，因12,,,s ααα线性无关，
则β可由12,,,s ααα线性表示，矛盾。所以1,,
,s βαα线性无关。
（2）若12,,
,s ααα线性无关，则由(1)知1,,
,s βαα线性无关。因
12,,,
,s +++βαβαβαβ线性相关，所以存在不全为零的数1,,,s k k k 使得
()()110s s k k k +++++=βαβαβ，即有
()1110s s s
k k k k k ++
++++=βαα，得11100
00s s s k k k k k k k k +++=⎧⎪=⎪⇒====⎨
⎪⎪=
⎩
。
与1,,,s k k k 不全为0矛盾。故12,,,s ααα线性相关。
2010年4月28 日试卷
一.选择题：（每小题4分，共10分）
1.
3(),2,(2,34,5),
A A A
B αααααααα===++１２３１２１３２阶方阵按列分块,，，则
B = .
2. **1
100220,() .333A A A -⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
的伴随矩阵为则
3. 当且仅当k=_____时，齐次方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+-=+-=+0
00
32132131322kx x x x x x x x 有非零解。
4. 设A 是4 阶矩阵，且A 的行列式|A |= 0，则A 中 ．
（A ）必有一列元素全为0； （B ）必有两列元素对应成比例；
（C ）有一列向量是其余向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余向量的线性组合． 5.{
}12121(,,
)0,1n n n W x x x R x x x x =∈++
== （填是或不是）n R 的子空间．
6.设A ，B 均为n 阶方阵，且r ()r ()22
n n
A B <
<，，则齐次线性方程组0AX =与0BX = ．
()A 没有相同的非零解 ； ()B 同解 ；
()C 只有相同零解 ； ()D 有相同的非零解．
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