提供多样化的学习材料，构建富有活力的课堂
广东实验中学何文娟
数学课堂教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。改变学生的学习方式，使其由被动地接受学习，转变为主动地探究学习，是当前课程改革的重点之一。在教学活动中，教师要创造性地使用教材，打破教材对学生思维的禁锢，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，还学生自由创新的空间。
一、学习材料要具有可操作性。“带着知识走向学生”，不过是“授人以鱼”，“带着学生走向知识”才是“授人以渔”。教师是学生成长的引导者、学生发展的领路人，而学生本人才是成长的主人，发展的主体。人的主体性只有在活动中才能形成和发展。因此，教学中教师要根据教学内容和学生的认知规律，积极创造条件，为学生提供可操作的学习材料。
例如，可以组织学生收集粉笔盒、饼干盒等日常用品来形象直观的学习立体图形，同时可以利用这些物品掌握立体图形的展开图。
二、学习材料要体现时代性。时代的发展，使得现行教材内容明显暴露出滞后性。这就需要教师及时吸收、补充一些富有时代气息的、贴近学生生活实际的、为学生所喜闻乐见的学习材料，让学生在解决身边具体问题的过程中，体验数学的价值。
例如，我们结合日常生活中的利息、税收、折扣、分期付款问题，比较两个商场的让利措施哪种对消费者合算等问题(直接打折与满200送80)。让学生走出教室，灵活应用数学知识解决实际问题。
此外，利用计算机多媒体教学可以创设开放式的教学情景，使得教学情趣盈然、丰富多彩，符合青少年学生年龄特征和心理需要。计算机辅助教学可以引导学生观察、思考、猜测和尝试，对数学对象进行多重表征，使学生深入理解数学知识。通过数学实验激发学生，创新灵感，有利于培养学生的创新精神和实践能力。同时可以节省教学时间，增加课堂信息密度，提高教学效益，从而在数学课堂教学中发挥重要作用。
三、学习材料要体现开放性。开放式题材，信息呈现形式多样，并具有可选择性，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。
首先，要使学生在选择材料上有一定的自由度。如相交弦定理的教学，可以先不给出结论，让学生观察圆内的两条相交弦，作适当的辅助线，探索一些结论(如角相等、三角形相似等)，教师顺着学生思维或由学生自主探索，由此得出相交弦定理；再进一步展开：若两条弦的交点在圆外及有一条弦变成切线时的情况又如何？可由学生研究。
再如，在讲解列方程解应用题--溶剂溶质问题这节课时，打破原来的常规问题，而把它设计为问题：“现有含盐4%的盐水600kg，含盐12%的盐水500kg，另有足够多的盐和水，要配制成含盐10%的盐水600k
g。①试设计多种配制方案；
②比较哪种方案较实用合理。”提出这样的实际问题后，学生根据经验，很快就出现了多种方案，然后由教师收集分类，主要归纳为：
方案1：取盐和水直接配制(应用质量分数公式)；
方案2：取含盐12%的盐水若干，再加水(稀释问题)；
方案3：取含盐4%盐水再加盐若干(加浓问题)；
方案4：取含盐4%的盐水和12%的盐水合计600kg(混合问题)。
21D
B A C
F E D 'C 'B 'O(A')D C B A 学生由此得出，解决同一问题，可以采用多种手段，并且点明本节课的意义，可以通过设未知数列方程来解决实际问题。最后，再根据实际意义，选出最佳方案，并对设计方案者提出表扬。课后同学们的评价是：“有新鲜感，生动有趣，开拓了思路。”由此可见，这样的开放习题课，可以给不同层次的学生提供多种思考空间，让他们都能充分展示自己的个性，感受到成功的喜悦。
其次，要让学生自己提供学习材料。如在讲完因式分解和判别式后，我让学生写了“因式分解的常用方法”和“判别式的应用”等学习心得。很多学生通过查资料，提出了因式分解很多不同于课本的方法，而对判别式的应用，更是进
行了分类讨论和研究。
再次，要活用课本中的学习材料。例如，正方形一节内容中，有
一例题： 已知：正方形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，正方形A’B’C’D’
的顶点A’与O 点重合，A’B’交BC 于点E，A’D’交CD 于点F.
求证：OE=OF． 本题主要体现正方形性质的应用，通过证明两三角形全等，得到
线段相等．除此之外，在本例题中仍包含着许多可以挖掘的知识点，像如果正
方形A’B’C’D’绕着点O 旋转，问：在旋转过程中，它与正方形ABCD 重合部分的面积变化吗？如果变化它是怎样变化的？此问题体现几何问题中的动静结合问题，在图形的旋转过程中，出变化的量与不变量，把“动”态的数学图形，用“静”态的图形来分析，这样的改编可以提高学生分析问题、解决问题的能力，对学生能力的培养大有裨益．
四、学习材料的组织要有利于学生的“再创造”。“数学是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用的过程，这一过程充满着探索与创造。”教师要根据学生已有的知识基础和年龄特点，敢于调整教学顺序，重组教材内容，通过教师有针对性地指导，借助“再创造”方式将学生带到数学化及有关的各方面的活动范畴之中，让学生在亲身经历中获得所期望的一切，也从中锻炼与培养学生的创新意识与创造能力。 例如，在“相似形”一章中有这样的例题：“已知：在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边上的高.求证：△ACD∽△CBD∽△ABC.”
这是一道条件和结论很明确的题目。当把它的结论隐去，改编为：“根据已知条件，结合图形你能得出哪些结论，并加以简单证明。”变为结论开放题时，课堂气氛立刻变得活跃，学生踊跃举手发表自己的意见，提出了一种又一种的结论，诸如有：
(1)∠1 =∠B，∠2=∠A；
(2)又有由角相等得到：△ACD∽△CBD，△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC；
(3)又由三角形相似得到比例关系，及由比例关系得到等积式：CD 2=AD·BD，AC 2=AD·AB，BC 2=BD·AB(射影定理).
这里只是通过一个简单的结论改变，就使一道单一题变为内容很丰富的探讨题。在学生轻松地、兴奋地
解决以上问题后，教师再引导进一步讨论：上面得出的结论可以解决什么问题?例如，可以证明勾股定理；也可通过面积法，求出斜
高AC BC CD AB ⋅==果把条件与部分结论互换，命题仍然成立吗?由四人小组讨论，自编题目，学生又提出了多种互换后的情况。如：
(1)已知∠1=∠B，∠2=∠A，求证：CA⊥BC，CD⊥AB(成立)；
(2)已知AC⊥BC，AC2=AD·AB，求证:：CD⊥AB，CD2=AD·BD(成立)；
(3)已知：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，求证：CD⊥AB，AC⊥BC(成立，可以利用勾股定理逆定理证明)；
(4)已知：∠1=∠B，AC2=AD·AB，求证：CD⊥AB，AC⊥BC(不成立)；
(5)已知：∠2=∠A，AC2=AD·AB，求证：CD⊥AB，AC⊥BC(成立)。
等等。针对这些题目与探究，教师再进行点评，指出其本质，并把一些结论留作课后讨论，通过这样的
演变和探讨，大大激发了学生探求问题的热情，使学生自觉地、主动地直接参与思维的全过程，变“维持性学习”为“创新性学习”。
总之，通过提供多样化的学习材料，构建以学生自主学习为基础的新型教学过程，引导学生把静态的知识结论建立在动态的思考之上，把抽象的数学概念、规则建立在形象的感知之上，将教材内容生活化、动态化、情境化、形象化，可以大力推进教学活动由教向学的转变，可以使学生体验知识的发生和发展过程，使学生更真切地感受到数学自身的魅力，逐渐进入学习数学的角。进而形成有利于学生主体精神、创新意识、创造能力健康发展的宽松的教学环境，使教学过程不仅成为认识过程，而且也成为一个交往过程和发展过程。
例析初中数学中的最值问题 广东实验中学  于清
【摘要】：最值问题是初中数学的重要内容，具有较大的灵活性，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考查学生对平时所学内容的综合运用能力，关键要用数学思想方法为指导，准问题的切入点，建立合适的解决问题的数学模型，寻解决问题的捷径，从而把问题由难转化为易，并最终解决相关的问题。
【关键词】： 最值问题  初中数学  解决问题  数学思想方法  最小值  最大值  综合运用能力  函数关系式
【正文】：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
在中考试题中出现频率比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）或者是利用一次函数和二次函数的性质求最大（小）值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
（一）、归于函数模型：即利用一次函数的性质和二次函数的对称性及性质，确定某范围内函数的最大值或最小值。
（二）、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
1．归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之
和的最小值”时，大都应用这一模型。
2．归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差
的最大值”时，大都应用这一模型。
二、利用函数模型求最值
1．一次函数的最值问题
例1． 某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．
（1）已知甲种饮料成本每千克4
元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型
A 种果汁原料  0.5千克
0.2千克
B 种果汁原料  0.3千克
0.4千克
请你分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？
解：(1)根据题意，可列出y 与x 的关系式为
y=4x+3(50-x)=x+150
(2)根据题意，x 应满足如下的不等式组
⎩
⎨⎧≤−+≤−+2.17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x      解出3028≤≤x  因为150+=x y 中的x 的系数为1>0，
所以y 随着x 的增大而增大
故当x=28时，y 有最小值，为178元。
【说明】一次函数的最值问题，根据是一次函数的性质，对于y=kx+b 来说，当k>0时，y 随着x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小。解决和一次函数相关的最值问题应先有函数关系式，再去求最大或者最小值。
2．二次函数的最值问题
例2.某商店经营T 恤衫, 已知成批购进时单价是2元. 根据市场调查, 销售量与单价满足如下关系: 在一时间内，单价是13元时,  销售量是200件,  而单价每降低1元，就可以多售出50件.单价为多少时，利润最大？
解：设每件降价为x 元，则可多售出50x 件，利润为y 元，根据题意得 220035050)
50200)(213(2++−=+−−=x x x x y      (110≤≤x )
配方可得5.2812)5.3(502+−−=x y
因为y 与x 的关系式为二次函数，且其中二次项系数为-50，所以当x=3.5时， y 有最大值为2812.5元，所以商品单价为9.5元。
数学教学论文
【说明】二次函数的最值问题(考虑的是顶点的x 的值在自变量的取值范围内，顶点的x 的值不在自变量的取值范围内的二次函数最值问题基本不在考察范围之内)，也是根据是二次函数的性质，对于k h x a y +−=2)(来说，若a>0时，当x>h 时，y 随着x 的增大而增大；x<h 时，y 随着x 的增大而减小。若a<0时，当x>h 时，y 随着x 的增大而减小；x<h 时，y 随着x 的增大而增大。解决和二次函数相关的最值问题也应先有函数关系式，然后配方，根据二次函数的性质求最大或者最小值。
三、利用几何模型求最值
1．归于“两点之间的连线中，线段最短”
。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
例3．如图1已知l 为一条公路，A、B 为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小？
分析：如图2作B 关于l 的对称点B1， 连接AB1交直线l 于点M,
有MB=MB1，于是MA+MB=MA+MB1≥AB1
(当且仅当从运动到AB1和l 的交点M 时等号成立)，
商店建在M 点符合条件。
【说明】这个商店位置的选择，理论根据是轴对称的特点以及两点之间线段最短的几何原理。
例4．如图3在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点，则EF＋BF 的最小值是多少？
答案：5（图中线段DE 的长即为所求的最小值。）
【说明】
（1）解题的思路如图4所示的构造辅助线及连接相应的线段。
（2）此题转换了题目的背景，把比较直接的两定点间的距离最小值转化到新的图形即正方形中，但仍然以对称点的特点以及两点之间线段最短的几何原理来解决。
图3 D
图4 图1l B l 图2