第一章 函数与方程
一、考纲要求
1.理解集合、子集、交集、并集、补集等概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。
2.理解逻辑联词"或"、"和"、"且"、"非"的含义，理解四种命题及其相互关系。
3.理解｜ax+b｜＜c，｜ax+b｜＞c(c＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法。
4.了解映射的概念，在此基础上理解函数及有关的概念，掌握互为反函数的图像、定义域及值域间的关系，会求一些简单函数的反函数。
5.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图像的对称性关系描绘函数的图像，了解奇偶函数定义域必关于原点对称的特点。
6.理解分数指数幂、根式的概念，掌握有理指数幂的运算法则。
7.理解对数的概念，掌握对数的性质和运算法则。
8.掌握幂函数的概念及其图像和性质，在考察函数性质和运用性质解决问题时，所涉
及的幂函数f(x)=xa中的 a限于在集合｛-2、-1、-、 、1、2、3｝中取值。
9.掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念及其图像和性质，并会解简单指数方程和对数方程。
10.会解简单的对数不等式、指数不等式及简单的函数不等式，要注意单调性和定义域的应用。
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
1.集合
(1)集合元素有"四性"：确定性、互异性、无序性和任意性。即集合中元素应完全确定，不能模棱两可，集合中元素互不相同，不能重复出现；集合中元素无序关系，例如｛1、2、3｝与｛2、1、3｝表示同一集合；集合中元素可以是具体确定的事物，而不仅限于"数、点、式、形"。
(2)集合表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。
(3)元素与集合，集合与集合的关系："∈"""用于表示元素与集合间关系，""、"＝"、""、""、""用于表示
集合与集合间关系。
(4)集合运算有三种：交、并、补。
交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的交集，记作A∩B。即
A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝
并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集，记作A∪B。即
A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝
补集：已知全集I、集合A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合I中的补集，记作。即
＝｛x｜x∈I，且x∈/A
｝
(5)例题赏析
例1 已知集合A＝｛x、xy、lg(xy)｝，B＝｛0、｜x｜，y｝且A＝B，求x、y的值。 解：由A＝B可知，必有lg(xy)＝0，即xy＝1，若xy＝y，则x＝1，于是x＝xy，与集合A中元素互异性矛盾，故xy＝｜x｜，即x＝y＝-1 符合题意，此时，A＝B＝｛1，-1，0｝，∴x＝y＝-1
说明：通过对"集合元素有'四性'"的应用，强化学生对概念的理解，培养学生思维的全面性、深刻性，使之具备应用集合元素性质解决问题的能力。
例2 设I＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，∩＝｛2，8｝，A∪ B＝｛2，3，4，5，6，7，8｝，求A、B、∩
解：用韦恩图表示集合I、A、B的关系，表示集合A、B的两个相交圈将表示全集I的矩形分成互不相交的四个部分，它们分别
表示A∩，A∩B， ∩ 。 例2图
如图，依题意知A∩B＝∪＝｛1｝，又A∩B＝｛2，8｝，∩B＝｛3，7｝，∴A＝｛1，2，8｝，B＝｛1，3，7｝. ∩＝｛4，5，6｝
说明：通过对集合表示方法的训练，培养学生思维的灵活性，使之具备"数形结合"解决此类问题的能力。
例3 设A＝｛x｜x＝a2+1，a∈N｝，B＝｛y｜y＝b2-6b+10，b∈N｝，求证：AB
证：∵A＝｛x｜x＝a2+1，a∈N｝，B＝｛y｜y＝b2-6b+10，b∈N｝＝｛y｜y＝(b-3) 2+1，b∈N｝
又∵a,b∈N，∴b-3∈｛-2，-1，0｝∪N
对于任意一元素x∈A，则x∈B
∴AB
当b-3＝0时y＝(b-3) 2+1＝1∈B，而1A
∴AB
说明：通过对集合与元素，集合与集合关系的训练，培养学生运算能力，使之具备根据条件寻求合理、简捷运算途径的能力。
例4 设A＝｛x｜(x+2)(x+1)(x-1)＞0｝，B＝｛x｜x2+px+q≤0｝，若A∪B＝｛x｜x＞-2｝，A∩B＝｛x｜1＜x≤3｝，求p、q的值。
解：将A化简，得A＝｛x｜-2＜x＜-1，或x＞1｝，由A∪B＝｛x｜x＞-2｝，A∩B＝｛x｜1＜x≤1｝，
结合数轴，知B＝｛x｜-1≤x≤3｝，由-1和3是方程x2+px+q＝0的两根，得p＝-2 q＝-3
说明：通过对数集的交、并、补运算的训练，使学生掌握化简集合，利用数轴表示集合并进行运算的方法。
2.映射与函数
(1)映射是一种特殊的对应，即"一对一"或"多对一"但不能是"多对一"。
(2)从集合A到集合B的映射f：A→B中，A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。
(3)函数是一种特殊的映射，要求f:A→B中，A、B都是非空数集，其中A为定义域，f(A)是值域。
(4)函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。
(5)函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
(6)函数的三特征：非空、数集、满射。
(7)例题赏析：
例5 已知
(x,y)在映射f下的象为(3x,x-y)，求(1，2)在f下的原象。
解：由题意，知
3x＝1 x＝
解之得
x-y＝2 y＝-5/3
∴(1，2)在f下的原象是(，-5/3)
说明：通过本题加深对"映射"概念的理解，训练学生分析象与原象关系的能力，使之具备把映射与其它知识综合运用的能力。
例6 设f(x)是定义在R+上的函数，且满足f(xy)＝f(x)+f(y) f()＝1，求f(1)和f(4)的值。
解：∵对任意x，y∈R+均有f(xy)＝f(x)+f(y)成立
令x＝1,y＝1，得f(1·1)＝f(1)+f(1)
∴f(1)＝0
又令x＝2，y＝ 得f(2·)＝f(2)+f()
∴0＝f(2)+1 ∴f(2)＝-1
∴f(4)＝f(2·2)＝f(2)+f(2)＝2f(2)＝-2
说明：通过"函数是一种特殊的映射"，训练学生思维的敏捷性和灵活性，使之具备抽象思维能力。
例7 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧棍周长均为1600mm，若第K对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为LK，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)。
轧辊序号K 1 2 3 4 疵点间距LK(mm) 1600 解：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，故 1600＝L3·(1-0.2)
所以 L3＝1600/0.8＝2000(mm)
同理 L2＝L3/0.8＝2500(mm)
L1＝L2/0.8＝3125(mm)
填表如下：
轧辊序号K 1 2 3 4 疵点间距LK(mm) 3125 2500 2000 1600 说明：通过函数表示方法，训练学生分析问题能力，使之具备用表格法表示函数的能力。
例8 已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2-20x+25，求g(x)的表达式。函数的表示法
解：由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax+b(a＞0)
∵f(g(x))＝4x2-20x+25
∴(ax+b)2＝4x2-20x+25，即
a2x2+2abx+b2＝4x2-20x+25
解得a＝2,b＝-5
故g(x)＝2x-5(x∈R)
说明：通过本题，训练学生利用待定系数法、恒等式性质解题的能力，加深对函数三要素、三特征的
理解，使之具备求复合函数解析式、定义域的能力。
3.函数性质
(1)定义域：x的取值集合。
(2)值域：y的取值集合。
(3)增减性：对于给定区间上的函数f(x)、对任意的x1，x2·x1＜x2＝＞ f(x1)＜f(x2),f(x)在区间上是增函数；x1＜x2 ＝＞ f(x1)＞f(x2)，f(x)在区间上是减函数。
(4)奇偶性：对于函数定义域内任意x，有f(-x)＝f(x) ＝＞ f(x)是偶函数；f(-x)＝-f(x)
＝＞ f(x)是奇函数。
(5)周期性：若存在常数T(T≠0)，使对定义域内任意x都有f(x+T)＝f(x)，则f(x)叫周期函数，T叫f(x)的一个周期，合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。
(6)奇偶性与单调性
奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同。
偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。
(7)奇函数、偶函数定义域必关于原点对称。对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0，f(x)＝0，既是奇函数又是偶函数。
(8)例题赏析：
例9 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(6-x2) (2)y＝lg(ax-2·3x)(a＞0且a≠1)
x+5＞0 x≥-5
解：(1)∵ 6-x2＞0 ∴ -＜x＜
6-x2≠1 x≠±
∴- ＜x＜且x≠±
所求定义域为(-，-)∪(-，)∪(，)
(2)∵ax-2·3x＞0 ∴( )x＞2
当a＞3时，此函数的定义域为(log2，+∞)
当0＜a＜3且a≠1时，函数定义域为(-∞，log2)
当a＝3时，此函数定义域为 Ο/ 。
说明：求函数定义域时，应注意分式的分母非零；偶次方根中被开方数为非负数；对数的真数为正数，底数大于零且不等于1；零指数和负指数幂的底数不为零；对于含参问题时要注意对参数分类讨论；由实际问题建立的函数，其定义域还应受实际问题的具体条件的制约。
本题通过求定义域，训练学生挖掘隐含条件的能力，使之具备在各种条件下求定义域的能力。
例10 求下列各函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝；
(4)若f(x)的值域是〔，4/9〕，求函数g(x)＝f(x)+的值域。
解：(1)y＝-1+ ∵≠0 ∴y≠-1
故函数y＝的值域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)
(2)由函数关系式，得ex＝，∵ex＞0，即＞0
解得y＞2或y＜-1，故函数的值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)
(3)由函数关系式变形、整理，得2yx2-4yx+3y-5＝0，当y＝0时，-5＝0矛盾，故y≠0
∵x∈R
∴Δ＝(-4y)2-4·2y(3y-5)≥0，即0≤y≤5，故0＜y≤5，函数的值域为(0，5)
(4)设t＝ ∵ ≤f(x)≤ ∴≤1-2f(x)≤ 即t∈［，］，
且f(x)＝ (1-t2)，于是
g(x)＝-t2+t+＝- (t-1)2+1，t∈［，］
当t＝时，gmin(x)＝
当t＝时，gmax(x)＝
∴≤g(x)≤，故函数g(x)的值域为［，］
说明：求值域常用方法有：
(1)用配方法求二次函数的值域；(2)根据反函数求二次函数的值域；(3)对于可化为二次函数型时，利用判别式法求值域，但要注意某些限制条件；(4)利用函数的单调性求函数的值域；(5)通过函数的图像和变量代换求出函数的值域。
本题通过求函数值域，训练学生的逻辑思维及运算能力，加深对反
函数、二次函数及函数单调性等数学概念的理解，使之具备思维的多向性、深刻性和批判性等能力。
例11 已知f(x)＝x3，证明f(x)在R上是增函数。
证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)＝x13-x23＝(x1-x2)(x12+x22+x1x2)
＝(x1-x2)［(x1+x2)2+x22］
∵x1＜x2
∴(x1+x2)2+x22＞0,(否则x1＝x2＝0)
又x1-x2＜0
∴(x1-x2)［(x1+x2)2+x22］＜0
即 f(x1)-f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)
∴f(x)＝x3在R上是增函数。
说明：通过单调性证明，训练学生运算能力，使之具备将f(x1)-f(x2)化为几个能确定符合的因式的积的能力。
注意：①单调性是与"区间"紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间的"整体"性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用特殊值代替。若求单调区间则应求"极大"区间。③由于定义是充要性命题，因此单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以"正逆互推"。
例12 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(-x); (2)f(x)＝x· ;
(3)f(x)＝+ (4)f(x)＝+
解：(1)此函数的定义域为R.
∵f(-x)+f(x)＝lg(+x)+lg(-x)＝lg1＝0
∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。
(2)此函数定义域为｛x｜x∈R，且x≠0｝，它关于原点对称。
∵f(-x)＝-x·＝-x＝x·＝f(x)
∴f(x)是偶函数。
(3)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
(4)此函数定义域为｛1，-1｝，且f(x)＝0，可知f(x)图像既关于y轴对称，又关于原点对称，故此函数既是奇函数又是偶函数。
说明：确定函数的奇偶性，一般先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与f(x)的关系。常用的方法有：(1)利用函数奇偶性定义判断；(2)用求和(差)法判断，即看f(-x)±f(x)与0的关系；(3)用求商法判断，即看f(-x)÷f(x)与±1的关系。
本题通过确定函数奇偶性，训练学生运算能力，使之具备运算"准确、熟练、快捷、合理"的能力。
例13 已知函数f(x)的最小正周期是8，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，判断f(x)的奇偶性。
解：f(-x)＝f［4-(4+x)］＝f［4+(4+x)］＝f(8+x)＝f(x)
故f(x)是偶函数。
说明：通过函数的周期性，对称性推导其奇偶性，训练学生的逻辑思维能力。使之具备正确的思维取向，提高能力层次。
例14 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0，+∞)上是减函数，f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
解：设x1、x2＜0且x1＜x2，则0＜(-x2)＜(-x1)
∵f(x)在(0，+∞)上是减函数
∴f(-x2)＞f(-x1)...... (1)
又f(x)是奇函数
∴f(-x2)＝-f(x2)，f(-x1)＝-f(x1)代
入(1)式得
-f(x2)＞-f(x1) 从而
f(x2)＜f(x1)
由此可知：函数f(x)在(-∞，0)上是减函数。
说明：通过应用奇偶性、单调性，训练学生分析问题能力使之具备转化条件解决问题的能力。
4.二次函数在闭区间上最值问题
闭区间［α，β］上的函数f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，当-∈［α，β］ 时 ，最值从f(-),f(α),f(β)中比较得出。当-［α，β］时，最值从f(α),f(β)中比较得出。
例15 求函数y＝3x2-12x+5当自变量x在下列范围内取值时的最值。
(1)0≤x≤3 (2)-1≤x≤1
解：对称轴x＝2
(1)∵2∈［0，3］ ∴ 当x＝2时，ymin＝-7
当x＝0时，ymax＝5
(2)∵2［-1，1］ ∴ 当x＝1时，ymin＝-4
当x＝-1时，ymax＝20
例16 设函数f(x)＝x2-2x-1在区间［t,t+1］上的最小值是g(t)，求g(t) 的解析式。
解：f(x)＝(x-1)2-2，对称轴x＝1
①当x＝1∈［t,t+1］时，g(t)＝-2 此时0≤t≤1
②当x＝1＜t时，g(t)＝f(t)＝t2-2t-1 此时t＞1
③当x＝1＞t+1时，g(t)＝f(t+1)＝t2-2 此时t＜0
t2-2 (t＜0＝
∴g(t)＝ -2 (0≤t≤1)
t2-2t-1 (t＞1)
例17 设函数f(x)＝x2-tx-1，在区间［t,t+1］上的最小值是g(t)，求g( t)的解析式。
解：f(x)＝(x-)2-1-，对称轴x＝
①当x＝ ∈［t,t+1］，即-2≤t≤0时，g(t)＝-1-
②当x＝ ＜t即t＞0时，g(t)＝f(t)＝-1
③当x＝ ＞t+1即t＜-2时 g(t)＝f(t+1)＝t
t，(t＜-2＝
∴g(t)＝ -1- ，(-2≤t≤0)
-1，(t＞0)
说明：这一组例题，通过对称轴、区间的由静到动的变化训练学生的逻辑思维能力，使之具 备思维合理迁移能力。
5.反函数
(1)式子y＝f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y＝f(x) 中解出x，得到式子x＝(x)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x＝ (y)，x在A中 都 有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝ (y)就表示x是自变量y的函数。这样的函数x＝ ( y)，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f-1(y)，即 x＝(y)＝f-1(y) 习惯上，一般用x表示自变量，y表示函数，为此对调式子x＝f-1(y)中的字母x、y， 把它改写成y＝f-1(x)
(2)原函数与反函数的图像关于y＝x对称。
(3)原函数与反函数在对应的区间上的增减性相同。
(4)若函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。
(5)单调函数必有反函数。
(6)f-1(f(x))＝x,x∈A，f［f-1(x)］＝x,x∈C。
6.幂函数：y＝xa，定义域是使xa有意义的实数，图像过(1，1)点，n＞0时，在
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