二次函数的三种表示方式
高中必备知识点1：一般式
形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
典型考题
【典型例题】
已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．
【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．
【解析】
（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）
9a ﹣3b +c ＝0
9303
12a b c c b a
⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩  解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3
∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；
（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上，
函数的表示法
∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴ +2
m n ＝﹣1  即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0
∴此方程有两个不相等的实数根．
【变式训练】
抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)
【答案】
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3．
【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；
（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.
【答案】(1)
;(2)4. 【解析】
（1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为， 抛物线的解析式为
； （2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积
， 抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.
高中必备知识点2：顶点式
形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．
典型考题
【典型例题】 已知二次函数21322
y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；
⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．
【答案】（1）()21122y x =-
-+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】
（1）21322
y x x =-++  ()21232
y x x =--- ()2121132
y x x =--+-- ()
212142
y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣
⎦ ()21122
y x =--+ （2）∵()21122y x =--+ ∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.
【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．
【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．
【解析】
∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），
∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．
【能力提升】
二次函数的图象经过点(03)A -，
，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．
平移  个单位，使得该图象的顶点在原点．
【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5
【解析】
（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，
，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==321c b a
∴322--=x x y ；
（2）∵4)1(3222--=--=x x x y
∴函数的顶点坐标为（1，-4）；
（3）∵|1-0|+|-4-0|=5
∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．
高中必备知识点3：交点式
形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
典型考题
【典型例题】
已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．
（1）求 k 的取值范围；
（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．
【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.