函数的基本概念与表示
模块一、函数与映射
要点一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的      元素，在集合B 中都有          元素和它对应，这样的对应叫做          到        的映射，记作                  .
2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的        叫做象，        叫做原象。要点二、函数1．定义：设A 、B 是      ，f :A→B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A→B 叫做A 到B 的          ，记作                  。2．函数的三要素为    、    、    ，两个函数当且仅当        分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有          、          、          。
要点三、函数相等
只有当两个函数的        和          都分别相同时，这两个函数才是相等函数（或称为同一个函数）。
考点一、同一函数的判断 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）.
A.                    B. C.                D. 变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是  （      ）A.y=            B.y=()2          C.y=lg10x                            D.y=
考点二、已知函数解析式求函数值
例2-1. 已知f(x)= 1
2−x  (x ∈R,x≠2),g(x)=x+4(x ∈R).
⑴求f (1),g (1)的值.
⑵求f [g (1)],g [f (1)]的值.
⑶求f [g (x)],g [f (x)]的表达式.
例2-2. 设f (x )={1−√x ，x ≥0，2x ，x <0，
则f(f (−2))=（    ） A. -1            B. 14        C. 12        D. 32
变式训练2：函数f (x )={x 2+2（x ≤2），2x （x >2）
则f (−4)=（      ），若f (x 0)=8，则x 0=（  ）。  1,x y y x
==211,1y x x y x =-+=-33,y x y x ==2||,()y x y x ==x x 2x x 2log 2
函数的表示法
模块二、函数的三要素
要点四、函数的定义域
1. 函数的定义域就是使函数式          的集合.
2.常见函数：使式子有意义
(1)整式：定义域为R
（2）一次函数：，定义域是R 。
（3）分式函数：定义域为分母不为零。
（4）偶次根式：定义域是使根号内的式子大于等于零。
（5）0指数幂：定义域是使底数不为零。
（6）对数函数：f (x )=log a x （a >0且a ≠1）的定义域为x >0.
（7）正切函数：f (x )=tanx 的定义域为x ≠kπ+π2，k ∈Z . （8）由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集。
3、抽象函数的定义域
（1）已知的定义域，求复合函数的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。
（2）已知复合函数的定义域，求的定义域
方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
（3）已知复合函数的定义域，求的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
（4）已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
考点三、求函数的定义域
例3-1. 求下列函数的定义域：
（1）
y=        (2)y =+        (3) ()
()05443x y x lg x =+-+
变式训练3-1：求下列函数的定义域：
（1）y=+(x-1)0          (2)y=    (3)y=+lgcosx
（4）若函数a
ax ax y 12+-=
的定义域是R ，求实数a 的取值范围
)0()(≠+=a b ax x f )(x f ()][x g f )(x f ()b a x ,∈)]([x g f b x g a <<)(x )]([x g f ()][x g f )(x f ()][x g f ()b a x ,∈b x a <<)(x g )(x f [()]f g x [()]f h x ()][x g f ()x f ()x f ()][x h f ()f x x x x -+||)1(0212)
2lg(x x x -+-1·1-+x x 225x -
例3-2. 求下列函数的定义域：
(1)已知函数()f x 定义域为[0，1]，求函数()2
2x f 的定义域； (2)已知函数()21f x +的定义域为[1,2]，求函数f (x )的定义域；
(3)已知函数)1(2-x f 的定义域为(2,5)，求函数)1(x f 的定义域；
(4)若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y +)4
1(-⋅x f 的定义域。
变式训练3-2：求下列函数的定义域：
(1)已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域；
(2)已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域；
(3)已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域；
(4)若()y f x =的定义域是[]0,2，求函数()()121f x f x ++-的定义域。
要点五、函数的值域
求函数值域的常用方法：
（1）观察法：简单函数
（2）配方法：二次函数
（3）图像法：图像易画出
（4）换元法：用代数或三角换元
（5）分离常数法：分式函数
（6）判别式法：y =
ax 2+bx+c dx 2+ex+f （a ，d 中至少有一个不为零）
（7）反函数法：
（8）单调性：
（9）复合函数法
考点四、求函数的值域
例4. 求下列函数的值域．
(1)y ＝x 2＋2x(x ∈[0，3])；  配方法
(2)y ＝1－x 2
1＋x 2
；              分离常数法 (3)y ＝x ＋4x
(x ＜0)；        不等式法 (4)f(x)＝x －1－2x      换元法 单调性法
变式训练4：求下列函数的值域：
(1)y ＝x －3x ＋1
； (2)y ＝x 2－x x 2－x ＋1
；
模块三、求函数解析式
要点六、求函数解析式的常用方法
（1）代入法：
（2）凑配法：复合函数
（3）换元法：复合函数
（4）待定系数：已知函数类型
（5）消去法（构造方程组法）：f (x )与f (−x )、f (x )与f (1x )
（6）赋值法：抽象函数
考点五、求函数的解析式
例5. 求下列函数的解析式
（1）已知2211f (x )x x x +
=+ )0(>x  ，求 ()f x 的解析式
（2）已知1f (
)x =+)1(+x f
（3）已知：函数
2y x x y g(x )=+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
（4）设
f (x )为偶函数，)(x
g 为奇函数，又11f (x )g(x ),x +=-试求)()(x g x f 和的解析式；
（5）设
f (x )是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ；
（6）已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式f(x −y)=f(x)−y(2x −y +1)恒成立，求)(x f 。
变式训练5：求下列函数的解析式：
（1）已知f （）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （
）=3x ，求f （x ）.
12+x x 1