函数的定义与表示知识点及题型归纳总结
知识点精讲：
注 由映射的定义可知，集合A到集合B的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素， 即可以一对一，也可多对一，但不可一对多.
注 象与原象
如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫a的象．记作b＝f(a),a叫b的原象．A的象记为f(A)
2、一一映射
设A，B是两个集合，f是A到B的映射，在这个映射下，对应集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f为A→B的一一映射.
注 由一一映射的定义可知，当A，B都为有限集合时，集合A到集合B的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A与集合B中的元素个数相等.
3、函数
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以
如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
题型归纳及思路提示：
题型1 映射与函数的概念
思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下对应集合A中的任一元素在B中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A与是否为非空数集；（2）f：A→B是否为一个映射.
例2.1 若f：A→B构成映射下列说法中正确的有（ ）
A中任―元素在B中必须有象且唯一；
B函数的表示法中的多个元素可以在A中有相同的原象；
B中的元素可以在A中无原象；
象的集合就是集合B
A B. C. D.
解析 由映射的定义可知, 集合A中任一元素在B中必须有象且唯―是正确的；集合A中元素的任意性与集合B中元素的唯一性构成映射的核心，显然②不正确，“一对多”不是映射；③因A在对应法则f下的值域C是B的子集，所以③正确；不正确，象的集合是集合B的子集，并不一定为集合B．故选C
变式1 在对应法则f下，给出下列从集合A到集合B的对应
；
(2) ；
（3）A＝{x|是平面内的三角形}，B＝｛y|y是平面内的圆｝，f:x→y是x的外接圆；
（4）设集合A＝｛x|是平面内的圆｝，B＝｛y|y是平面内的矩形｝，f:x→y是x的内接矩形
其中能构成映射的是_______
变式2 已知函数y＝f(x),定义域为A＝｛1,2,3,4｝值域为C＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？
例2.2 函数的图像与直线＝2的公共点有（ ）
A.0个 B. l个 C. 0个或1个 D.不能确定
分析 利用函数的定义解释，对于自变量∈D，则有唯一的值与其对应.
解析 若函数中定义域包含＝2则的图像与直线＝2有1个公共点；若函数定义域中不包含＝2则的图像与直线＝2无交点，故选C
变式1 已知函数y＝将函数图像绕原点逆时针旋转角，要使得图像在旋转的过程中为函数图像，则角正切值的最大值为多少？
变式2 已知集合A＝｛1，2，3，…，23｝求证：不存在这样的函数：A→｛1，2，3｝，使得对任意的整数∈A，若{1，2，3},则
题型2 同一函数的判断
思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数
例2.3 在下列各组函数中，出是同一函数的一组
（1）与y=1
（2）与
（3）与
解析 （1）的定义域为;y=1的定义域为R,故该组的两个函数不是同一函数；
(2)的定义域为{};的定义域为R，故该组的两个函数不是同一函数；
(3)两个函数的定义域均为｛≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数
故为同一函数的一组是（3）
评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性
变式1下列函数中与y＝是同一函数的是( )
(1) (2)
(3) (4)
(5)
A (1)(2) B(2)(3) C(2)(4) D(3)(5)
题型3 函数解析式的求法
思路提示 求函数解析式的常用方法如下：
(1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
(2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.
(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
(4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
一、待定系数法（函数类型确定）
例2.4已知二次函数的图像上任意一点都不在直线y=x的下方.
（1）求证:a+b+c≥1;
（2）设，若F(0)＝5，且F（x）的最小值等于2，求的解析式.
解析（1）因为的图像上任点都不在直线y＝x的下方，所以，即a＋b＋c≥1.
(2)因为的图像上任意一点都不在直线y＝x的下方，取相同x，二次函数值总大于一次函数值，所以，即，得，对任意x∈R成立.
因为a≠0.所以a>0且
又得C=2
所以.
所以F（x）的最小值为.
整理得.
将式与c=2代人式，整理得且即=0，所以b=5，a=2.
故
变式1已知是一次函数，若，求.
二、换元法或配凑法（适用于了型）
例2.5已知，求函数的解析式.
分析 把看成一个整体，可用换元法求解析式
解析 解法一（换元法）令=t（），则得，所以，
即
解法二(配凑法）：,即
评注 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t范围的限制
变式1 已知,求的解析式.
变式2设=，又记(k=1,2,…),则=( ).
A. B. C. D.
例2.6 已知函数满足,则的表达式为________.
解析 ＝,又或―2,故
(x>2或x<―2)
评注 求函数解析式要注意定义域
变式1 已知求的解析式
三、方程组法
例2.7 已知函数满足：,求函数的解析式.
分析 本题中除了所要求取的形式，同时还存在另个形式，应通过方程消元的思想，消去的形式，故只需寻求另一个关于和的等量关系式即可.
解析 由， ①
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