◎內積的坐標表示法：
若是坐標平面上任意兩個向量,　則與的內積
為                   
【例1】 已知,　求(1) (2)與的夾角. 解
(1).　
(2)設與的夾角為.　因為,　
所以      故.　
【例2】
設為實數,.若，則的值為何？ 解
因為,　且,　
所以  ,  即.
得      ,
整理得    ,
解得 
◎兩向量的夾角：
設 ＝（﹐）﹐＝（﹐）為兩個非零向量﹐夾角，
  則  cosθ＝  ＝ 
◎若直線的方程式為,　則
(1)向量與直線平行.　
(2)向量與直線垂直.　
◎兩直線的交角：
兩直線L1：x＋y＋＝0﹐L2：x＋y＋＝0 的交角為，
（另一交角為），則
cosθ＝.
【例3】 求兩直線與的交角.  解
與的法向量分別為與
若與的夾角為,　則
推得.　
故與有一交角為,　另一交角為
◎點到直線的距離公式：
點到直線的距離
◎兩平行直線間的距離公式：
兩平行直線與的距離
【例4】 求點到直線的距離.  解利用點到直線的距離公式,　得所求的距離為
【例5】 求兩平行直線與的距離.  解
將的方程式改寫為,　利用兩平行直線間的距離公式,　得所
  求的距離為
×
【例6】
已知兩直線與,　求兩直線的交角平分線方
程式.  解
設點為角平分線上任一點.　因為角平分線上任一點到這個角的兩邊等距離,　所以   
化簡得         
即  或     
× 故角平分線方程式為或.　
◎柯西不等式：
對於任意實數，不等式  恆成立,　
且等號成立於時.　
【例7】
設實數滿足，求的最小值，並求當有最小值
時，與的值.  解
利用柯西不等式,　得
將代入,　得
而且當時等號成立.　解
得.　
故當時,　有最小值.　
【例8】
設實數滿足，求的最大值與最小值，並分別求當
有最大值與最小值時，與的值.  解
利用柯西不等式,　得
  將代入,　得
  而且當時等號成立.　令,　得
  代入中,　得
函数的表示法．
  解得.
  (1)當時,　,　,　．
  (2)當時,　,　,　．
  故當時,　有最大值25；
×    當時,  有最小值.　
◎正射影長：
在上的正射影長
◎正射影：
在上的正射影
【例9】 已知,　求在上的正射影及正射影的長.  解
設在上的正射影為.　
(1)利用正射影公式,　得
× (2)正射影的長為
?
?
??
??
??