【学习目标】
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
(4)了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．
【要点梳理】
要点一、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点二、映射
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
要点三、关于分段函数应注意的几点
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数．
（2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域也是各段值域的并集．
要点四、函数解析式的求法
（1）若已知函数的结构形式，可用待定系数法求解．
（3）已知(())f g x 得解析式，求()f x 的解析式用换元法．
可令()g x t =，反解出x ，即用t 表示x ，然后代入(())f g x 中即求得()f t ，从而求得()f x ． 要点诠释：
利用配凑法、换元法求解析式时一定要注意自变量的取值范围为所求函数的定义域．
（4）已知()f x ，()g x 的解析式，求(())f g x 的解析式，用代入法，只需将()g x 替换()f x 中的x ． （5）方程组法（消去法），适用于自变量有对称规律，如：互为倒数（如()f x ，1
()f x
）；互为相反数（如()f x ，
()f x -）的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．
【典型例题】
类型一、映射与函数
例1．（1）试用列举法表示[]3,3-内的整数的绝对值；
则零售量是否为月份的函数？为什么？
例2. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→
（5）A={0，1，2}，B={0，1，12
}，对应法则是f ：
x 1y x =→
举一反三：
【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？
(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x
； (2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|； (3)A=R ，B=R ，;x
1x
1y x :f -+=
→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|； (5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|； (6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.
例3．已知映射:f A B →中，{}(,)|,A B x y x R y R ==∈∈，:(,)(321,431).f x y x y x y →-++- （1）求A 中元素（1,2）的像； （2）求B 中元素（1,2）的原像．
【变式1】如果(,)x y 在映射f 的作用下的像为(,)x y xy +，其中,x y R ∈，则(1,2)的像是 ，（2，－3）的原像是 ．
类型二、函数解析式的求法 例4. 求函数的解析式
(1)若2
()2f x x x =+，求(21)f x +； (2)若2
(1)21f x x +=+，求()f x ； (3)已知1()2()32f x f x x
-=+，求()f x ．
举一反三：
【变式1】已知f(x+1)=x 2
+4x+2，求f(x)．
【变式2】求下列函数的解析式
（1）已知()f x 为二次函数，(0)2,f =且当1x =时()f x 取最小值1-，求()f x ； （2）函数()y f x =满足1()3(),f x f x x
-=求()f x ．
类型三、函数的图象
例5.作出下列函数的图象.
（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211
x y x +=-；（3）2
|2|1y x x =-+．
类型四、分段函数
例6.函数2
2,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
函数的表示法中，若()3f x =，则x 的值为（ ）．
A ．1
B ．1或3
2
C
．
举一反三：
【变式1】 已知2,0
(),0
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f α=，则实数α=
A ．-4或-2
B ．-4或2
C ．-2或4
D ．-2或2
【巩固练习】
1．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 ( )
①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同；
③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）
2．设,f g都是由A到A的映射，其对应法则如表1和表2所示：
表1 映射f的对应法则表2 映射g的对应法则
原像 1 2 3 4
像 3 4 2 1
则与((1))
f g相同的是（）
A．((1))
g f B．((2))
g f C．((3))
g f D．((4))
g f
3．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )
A．(
2
5
，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(-1，-3)
4．函数
2
2
2(03)
()
6(20)
x x x
f x
x x x
⎧-≤≤
⎪
=⎨
+-≤<
⎪⎩
的值域是（）
A．R B．[)
9,
-+∞C．[]8,1
-D．[]9,1
-
5．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )
6．已知函数
2,0
(),()(1)0,
1,0
x x
f x f a f
x x
>
⎧
=+=
⎨
+≤
⎩
若则实数a的值等于（）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7．已知函数)
(x
f
y=的图象关于直线1
-
=
x对称，且当)
,0(+∞
∈
x时，有,
1
)
(
x
x
f=则当)2
,
(-
-∞
∈
x时，)
(x
f的解析式为（）
A．
x
1
-B．
2
1
-
-
x
C．
2
1
+
x
D．
2
1
+
-
x
8．如图所表示的函数解析式是( )
A.
3
|1|(02)
2
y x x
=-≤≤ B.
33
|1|(02)
22
y x x
=--≤≤
C.
3
|1|(02)
2
y x x
=--≤≤ D. 1|1|(02)
y x x
=--≤≤
13
(,),(1,3),(2,3)
A B C
-
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
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