哈密顿算符不同形式下的表达式
胡连钦(08180218)  范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用
1.引言
在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：
V m p V T H
+=+=2/ˆˆˆˆ2 如果我们从波函数)ˆ(r
ψψ=出发，位置算符是空间矢量自身：  r r =ˆ 它的分量是          x x =ˆ  ，y y =ˆ ，  z z =ˆ 动量算符表示为              ∇-= i p
ˆ    它的分量是    x i p
x ∂∂-= ˆ  ，y
i p y ∂∂-= ˆ  ，z i p z ∂∂-= ˆ 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则∇-→ i p 得到
V m
H +∇-=2
22ˆ
在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。
2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式
2.1、极坐标下的哈密顿算符
极坐标中独立变量
ρ、ϕ与直角坐标中独立变量
x 、y 之间的关系：
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=x y y x arctan
22ϕρ
图1 极坐标与直角坐标的关系        根据上述关系有：
ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂
-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂sin cos x x x      ϕ
ρϕρϕϕϕρρ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂cos sin y y y  x
y
ρ ϕ
哈密顿算子∇在直角坐标中的表达式为：
y x e y e x  ∂∂+∂∂=∇
据上述坐标之间的微分关系为：
2
22222)1()()cos (sin )sin (cos )()(
ϕ
ρρϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂y x                所以哈密顿算子∇在极坐标中的表达式为：
ϕρϕ
ρρe e
∂∂+∂∂=
∇1 据哈密顿算子2
∇的计算过程有：
)
s i n )(c o s s i n (c o s )(22ϕ
ρϕρϕϕρϕρϕ∂∂-∂∂∂∂-∂∂=∂∂∂∂=∂∂x x x
2
22
222222
s i n c o s s i n 2c o s s i n 2s i n c o s ϕρϕϕρρϕϕϕρϕϕρρϕρθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂= 2222222222
22cos cos sin 2cos sin 2cos sin ϕρϕϕρρϕϕθρϕϕρρϕρϕ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂y  所以拉普拉斯算子2
∇在极坐标中的表达式[5]为：
222222
11ϕρρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇        或        2
2221)(1ϕρρρρρ∂∂+
∂∂∂∂=∇
所以极坐标下的哈密顿算符H
ˆ可以表示成：                    V m H +∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ22
22ϕ
ρρρρρ                  （1.1） 在极坐标下的动能表达式为：)(21
222ϕρρ  +=m
T  正则动量为：          ρ
ρ
ρ  m T
p =∂∂=
和 22ϕρϕϕ  m T p =∂∂=                    得到哈密顿量为：              V m p m p H ++=22222ˆρ
ϕρ                    （1.2）    在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足ij j i i p q
δ =]ˆ,ˆ[的要求，如果仍将相应的算符表示为：      ρρ∂∂-= i p
ˆ ，  ϕ
ϕ∂∂
-= i p ˆ
得到                V m H +∂∂+∂∂-=)1(2ˆ22
2222ϕ
ρρ                      （1.3）    通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是ρ
ρ∂∂
-=
i p ˆ并非厄密算符，一个算符F 满足F F =+
，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必
须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。所以
ρ
ρ∂∂
-= i p
ˆ不能作为动量算符的分量表示。 通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为
ρρ
ρρρρ∂∂-=+∂∂-=1)21(ˆ  i i p                  （1.4）
现在把（1.4）式，ϕ
ϕ∂∂
-= i p
ˆ带入（1.2）式得到          V m m H
++∂∂+∂∂+∂∂-=2
2
2222228)11(2ˆρϕρρρρ                      （1.5）    比较（1.5）与（1.1），发现多了2
2
8ρm  项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄
密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。
所以我们通过构造动量分量ρp ˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，
定义为p p
∙=ρρ
ρ ˆ或ρ
ρρ ∙=p p ˆ，过渡到量子力学，由于ρp ˆ和ρˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 ρρρρρρρ    i i p p p -
∂∂-=∙+∙=)(21ˆ 这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。
所以动量算符在球坐标系中的各分量为ρρρ  i i p -∂∂-=ˆ，ϕ
ϕ∂∂-= i p
ˆ。 2.2、柱坐标下的哈密顿算符
柱坐标中独立变量r 、θ、z 与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧==+=z z x y y x r arctan 22θ
图2直角坐标与柱坐标的关系                据上述关系有：
222222)()cos (sin )sin (cos )()()(z r r r r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂θθθθθθ                          222)()1()(z r r ∂∂+∂∂+∂∂=θ
所以哈密顿算子∇在柱坐标中的表达式为：
z r e z e r e r    ∂∂+∂∂+∂∂=∇θθ1
据哈密顿算子2
∇的计算过程有：
22
2
22
2222
22s i n c o s s i n 2c o s s i n 2s i n c o s θθθθθθθθθθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂r r r r r r r x        222222222222c o s c o s s i n 2c o s s i n 2c o s s i n θ
θθθθθθθθθ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂r r r r r r r y  22
22z
z ∂∂=∂∂。 所以拉普拉斯算子2
∇在柱坐标中的表达式为：
22222222
11z r r r r ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇θ 或 2
222221)(1z r r r r r ∂∂+
∂∂+∂∂∂∂=∇θ 所以柱坐标下的哈密顿算符H
ˆ可以表示成：                V z r r r r r m H +∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ2
22222θ              （2.1）
在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量r p
ˆ的算符，在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为p r
r
p r ∙= ˆ或r
r p p r  ∙=ˆ，过渡到量子力学，由于r p
ˆ和r
ˆ不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 r
i r i r r p p r r p
r    -∂∂-=∙+∙=)(21ˆ
其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z 上的分量z p
ˆ。      所以动量算符在球坐标系中的各分量为r i r i p r  -∂∂-=ˆ，θ
θ∂∂-=
i p ˆ，z i p z ∂∂-= ˆ。 2.3、球坐标下的哈密顿算符
球坐标中独立变量r 、θ、ϕ与直角坐标中独立变量x 、y 、z 之间的关系
⎪⎪
⎪
函数的表示法⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=+=++=x y z y x z
y x r arctan arctan
222
22ϕθ
图3直角坐标与球坐标的关系          根据上述关系有：
ϕ
θϕθϕθϕθ∂∂
-
∂∂+∂∂-=∂∂sin sin cos cos cos sin r r r x
ϕ
θϕθϕθϕθ∂∂
-
∂∂+∂∂=∂∂sin cos sin cos sin sin r r r y  ϕ
ϕθ∂∂-∂∂=∂∂r r z sin cos  利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子∇在球坐标中的表达式
ϕθϕ
θθe r e r e r r    ∂∂+∂∂+∂∂=
∇sin 11 根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：
2
2
2
22222222
sin 11sin cos 2ϕ
θθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r r r  或        2
22
2222
sin 1)(sin sin 11ϕ
θθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r  所以球坐标下的哈密顿算符H
ˆ可以表示成： V r r r r r r m H +∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=]sin 1)(sin sin 11[2ˆ2
2
22222ϕθθθθθ
然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到
V p r p r p m H r +++=)ˆsin 1ˆ1ˆ(21ˆ222222ϕθθ
在球坐标下，动量整体的算符[6]表示
)ˆsin 1ˆ1ˆ(ˆϕθϕθθe
r e r e r i i p r ∂∂
+∂∂+∂∂-=∇-=      但是r i ∂∂-
和θ
∂∂
-r i 1 都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。    为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取
r
i r i r r p p r r p
r
-∂∂-=∙+∙=)(21ˆ 这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。
同理，可以构造θθθθθtan 211)ˆˆ(21ˆr i r i e p p e p  -∂∂-=∙+∙=，ϕ
θϕ∂∂-=sin 1ˆr i p  是厄密算符，可以作为ϕp
ˆ的算符表示。 2.4、哈密顿算符的矩阵形式
量子力学理论可以证明：每一力学量算符在矩阵代数中都有一对应的矩阵表示。现在，
我们对哈密顿算符H
ˆ的矩阵表示作一简略的数学推导。在量子力学中，所研究的重要问题就是求解薛定谔方程：          ψψE H
=ˆ                              （4.1） 如果将波函数ψ看出是n 个线性无关的波函数),...2,1(n i i =ψ的线性组合，即：