星火教育一对一辅导教案
学生姓名
性别
年级
高一
学科
数学
授课教师
上课时间
2015年11月15日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时：3课时
科组长签名
教学主任签名
教学课题
函数的概念与表示
教学目标
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.
教学重点与难点
了解简单的分段函数，并能简单应用．
一、知识讲解
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2．函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N*
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)(a>0，a≠1)
f(x)>0
logf(x)g(x)
f(x)>0，f(x)≠1，g(x)>0
tan f(x)
f(x)≠kπ＋，k∈Z
f(g(x))(f(x)定义域为[a，b])
a≤g(x)≤b的解集
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
3.函数解析式的求法
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(  )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(  )
(3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<5}．(  )
(4)f(x)＝
则f(－x)＝(  )
(5)函数是特殊的映射．(  )
(6)函数f(x)＝＋1的值域是{y|y≥1}．(  )
二、课前预习
1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(  )
A．(0,1)      B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)      D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(  )
A．f(x)＝|x|      B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1      D．f(x)＝－x
3．已知函数f(x)＝则满足方程f(a)＝1的所有a的值组成的集合为________．
4．给出下列四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．
其中真命题的序号有________．
三、重点讲解
题型一　函数的概念
例1　有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________．
思维升华　函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
函数的表示法　(1)下列各组函数中，表示同一函数的是(  )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
(2)下列四个图象中，是函数图象的是(  )
A．①      B．①③④
C．①②③      D．③④
题型二　求函数的解析式
例2　(1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
思维升华　函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，则f(x)＝________.
题型三　求函数的定义域
例3　(1)函数f(x)＝ln＋的定义域为(  )
A．(0，＋∞)      B．(1，＋∞)
C．(0,1)      D．(0,1)∪(1，＋∞)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(  )
A．(－1,1)      B．(－1，－)
C．(－1,0)      D．(，1)
思维升华　简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
　(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．
(2)函数y＝的定义域为__________________________________．
题型四　分段函数
例4　(1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(  )
A．－3  B．－1  C．1  D．3
(2)设函数y＝f(x)在R上有定义．对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为(  )
A．2  B．1  C.  D．－
思维升华　(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．
　(1)已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
(2)设函数f(x)＝则方程f(x)＝的解集为________．
四、易错题型
分段函数意义理解不清致误
典例：已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
温馨提醒　(1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．
(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意
求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.
五、课堂小测
A组　专项基础训练
1．函数f(x)＝的定义域为(  )
A.      B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞)      D.∪[2，＋∞)
2．设函数f(x)＝则f(f(3))等于(  )
A.  B．3  C.  D.
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(  )
4．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于(  )
A．－2x＋1      B．2x－1
C．2x－3      D．2x＋7
5．已知函数f(x)满足f()＝log2，则f(x)的解析式是(  )
A．f(x)＝log2x      B．f(x)＝－log2x
C．f(x)＝2－x      D．f(x)＝x－2
6．下列对应关系是集合P上的函数的是________．(填序号)
①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
②P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对集合P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．
7．已知函数f(x)＝log2，f(a)＝3，则a＝________.
8．已知f(x)＝则f(log27)＝________.
9．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地．在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．
B组　专项能力提升
11．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(  )
A．(－∞，－3]      B．[－3,0)
C．[－3，－1]      D．{－3}
12．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝________.
13．已知f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)＝______.
14．设函数f(x)＝则不等式f(x)<f(－1)的解集是________．
15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．