函数的概念和表示
1、函数的概念
设,A B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x R =∈。
2、映射的概念
设,A B 是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的一个映射。
注意：几点说明
（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量，y 为因变量。
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()f a 的原象。
函数的表示法（5）函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。
（６）定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程中充满了斗争。历史上，原始的“函数观念”伴随着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究，则在１７世纪以后，现代函数定义是在１９２１年，则库拉托夫斯基给出。定义如下：
设f 是一个序偶集合，若当(,)x y f ∈时，y z =，则f 称为一个函数。
3、函数的表示法
1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
（１） 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例如 1,0s g n 0,01,0
x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）
（借助于Sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）。
（２）用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）
例 １）[]y x =（取整函数）
２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数，当为无理数,
（Ｄirichlet ） （３）1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x ⎧=∈+⎪=⎨⎪=⎩
当为假分数)，当和内的无理数.
注意：
给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =⋃，并设D φ≠，定义f 与g 在Ｄ上的和、差、积运算如下：
()()(),F x f x g x x D
=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；
()()(),H x f x g x x D =∈. 若在Ｄ中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()
f x L x x D
g x =∈.
注：１）若12D D D φ=⋃=，则f 与g 不能进行四则运算。２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商
常分别写为：,,,f f g f g fg g
+-. 4.复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系。
例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率Ｅ为
2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭
. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt =
=，把()v t 代入f ，即得
221(())2
f v t m
g t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”。
2． 定义（复合函数）
设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，记{}
()E x f x D E =∈⋂，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应Ｄ内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作
(()),y f g x x E
=∈或()(),y f g x x E =∈。简记为f g 。称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量。
5.函数的解析式与定义域
1、 函数解析式：
函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。（注意分段函数） 求函数解析式的方法：
（1） 定义法 （2）变量代换法 （3）待定系数法
（4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题
2、 函数的定义域：
要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。复合函数定义域：
已知f(x)的定义域为[]b a x ,∈，其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式
b x g a ≤≤)(解出。
6.函数的值域
1．确定函数的值域的原则
①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；
②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；
③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
2．求函数值域的方法
①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；
③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；
④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥不等式法：利用不等式的性质求值域；
⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
题型一：函数与集合概念
1．设,A B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 。
2．对于函数(),y f x x A =∈，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 的值叫做函数的 ，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的 。
3．函数的三要素： 、 、
4．表示函数常用的三种方法是： 、 、
5．映射的概念：设,A B 是两个非空的 ，如果按照某种对应法则f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个 。
题型二：函数定义
1．判断下列对应是否为函数
（1）1,2
x x x R →-∈ (2)x y →，其中,,y x x R y R =∈∈
（3）t s →，其中2
,,s t t R s R =∈∈
（4）x y →，其中y 为不大于x 得最大整数，,x R y Z ∈∈
3．从集合{,}A a b =到集合{,,}B x y z =可以建立的从A B →的映射个数是 ；从B A →的映射个数是 。
4．下列函数与函数()f x x =是相等函数的是 （1）2
y x =；（2）2
x y x =；（3）ln x y e =；（4）2log 2x y = 5．若2()f x x x =-，求1
(0),(1),(),(1)()2
f f f f n f n +-
发布评论