第七章 一元二次方程
第一课时：一元二次方程的解法
【课标要求】：
1.了解一元二次方程的概念及根的意义。毒胶囊
2.明白得配方式，能用配方式、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是不是有实根和两个实根是不是相等。
【考纲要求】：
简单数字系数的一元二次方程的解法（公式法、配方式、因式分解法） C 品级（把握）
【教学进程】
一、知识梳理
1.一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。 它的一样形式是 （其中 、 ）
它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实
数根；当△＜0时，方程有 实数根；
一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方式：配方式是一种以配方为手腕，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方式．用配方式解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一样步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即便方程的左侧为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤若是n 0≥就能够够用两边开平方来求出方程的解；若是n=＜0，那么原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方式。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 2
(40)b ac -≥
注意：用求根公式解一元二次方程时，必然要将方程化为 。
⑶ 因式分解法：用因式分解的方式求一元二次方程的根的方式叫做 ．它的理论依照是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左侧分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式等于0，取得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解确实是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一样形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时确实是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一样形式；②确信a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④假设b 2－4ac ≥0，那么代人求根公式，求出x 1 ,x 2．假设b 2
－4a ＜0，那么方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随意约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随意约去（x ＋4） ⑷ 注意：解一元二次方程时一样不利用配方式（除专门要求外）但又必需熟练把握，解一元二次方程的一样顺序是：直接开平方式→因式分解法→公式法．
二、考点讲练
考点1一元二次方程概念和方程的解
例1．（1）以下方程中是一元二次方程的有 （填序号） ①9 x 2
=7 x ②32
y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 2
4x -x-1=0 （2）关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，那么n ＝ ，一次项系数是 .
（3） 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，那么实数p =
【练习】关于x 的方程221(1)50a
a a x x --++-= 是一元二次方程，那么a=__________.
考点2 一元二次方程的解法 例2. 选择适当的方式解以下方程：
（1）27(23)28x -=； （2）223990y y --=
（3）221x +=； （4）2
(21)3(21)20x x ++++=
【练习】解方程：
（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）31022=-x x . （4）22)21(16)3(9x x -=+； （5） 用配方式解方程2x 2+7x+3=0。
考点3 根的判别式
例3．（1）当c __________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．
(2)已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情形为 ( )
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确信
(3)已知关于x 的方程()034
122=+--m x m x 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是( )A ．2 B ．-1 C ．0 D ．1
(4)关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，那么a 知足
【练习】
(1)若是关于x 的方程02
22=--k x x 没有实数根，那么k 的最大整数值是 。 (2)设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离OP ＝m ，且m 使得关于x 的方程012222=-+-m x x 有
实数根，那么直线l 与⊙O 的位置关系为
(3)已知关于x 的一元二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，求k 的取值范围。
*了解一元二次方程的根与系数的关系
例4．（1）关于x 的方程2x 2＋(m 2
－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；
当m ＝ 时，两根互为相反数.
（2）设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，求22a a b ++的值
（3）已知2x 2x 是关于x 的一元二次方程062=+-k x x 的两个实数根，且21x 22x —1x —2x =115
(1)求k 的值；（2）求21x +22x +8的值。 第二课时： 一元二次方程的应用
【课标要求】：
1. 能依照具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
2. 能依照具体问题的实际意义，查验方程的解是不是合理。
【考纲要求】：
列方程（组）解应用题 C 品级（把握）
【教学进程】
一、知识梳理
（一）列方程（组）解应用题具体步骤是：
⑴审题。明白得题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一样来讲，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻觅相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一样地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及查验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而致使实际问题的解决（列方程、写出答案）。在那个进程中，列方程起着继往开来的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
㈡经常使用的相等关系
1．增加率问题：11)1(-±=n n r a a
2. 行程类问题：路程=速度⨯时刻，解题时分清相向、同向、反向、相遇、追及、早到、晚到、顺流、逆流等含义。
3．工程问题：大体关系：工作量=工作效率×工作时刻（常把工作量看着单位“1”）。
4. 利润类：利润 = 售价—进价； 利润率=利润÷进价
5．几何问题：经常使用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
㈢注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，那么那个三位数为：100a+10b+c ，而不是abc 。
㈣注意从语言表达中写出相等关系。
如，x 比y 大3，那么x-y=3或x=y+3或x-3=y 。又如，x 与y 的差为3，那么x-y=3。
㈤注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算;s 、v 、t 单位的一致等。
二、考点讲练
5. （2020广州综合测试一）近两年，国内成品油价钱节节上涨。卓创资讯的统计数据显示：以广东国三#
93汽油
为例，从2020年到此刻的涨幅为%。
（1）求2020年到此刻这两年广东国三#93汽油价钱的平均增加率。（结果精准到%）
（2）王先生说，他每一个月用车里程大体固定。2020年时，平均每一个月油费约1000元，照如
此计算，王先生此刻一年的油费比2020年多花多少钱？
17、（2020年北京四中中考模拟20）商品原价289元，经持续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，那么下面所列方程正确的选项是( )
A 、256)x 1(2892=-
B 、289)x 1(2562=-
C 、256)x 21(289=-
D 、289)x 21(256=-
16.(（2020武汉调考模拟)学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，预备将其计划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，，且周围出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x 米．
(1)用x 表示绿化区短边的长为_______米，x 的取值范围为_______．
(2)学校打算投资25000元用于此项工程建设，问可否按要求完成此项工程任务，假设能，求绿化区的长边长．
23. (2020年宁夏银川)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均天天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价方法，调查说明：这种冰箱的售价每降低50元，平均天天就能够多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中天天盈利4800元，同时又要使百姓取得实惠，每台冰箱应降价多少元？
八、（2020年甘肃庆阳）如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条一样宽的道路，余下
部份作为耕地．假设耕地面积需要551米2，那么修建的路宽应为（ ）
A ．1米
B ．
C ．2米
D ．
10、如图，把长AD=10cm ，宽AB=8cm 的矩形沿着AE 对折，使
D 点落在BC 边的F 点上，求D
E 的长。 F
E
D C B A
1一、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元3之间。市场调查发觉：假设每箱以50元销售，平均天天可销售90箱；价钱每降低1元，平均天天多销售3箱；价钱每升高1元，平均天天少销售3箱。
⑴写出平均天天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；
⑵求出商场平均天天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每
箱的利润＝售价－进价）；
⑶当每箱牛奶售价为多少时，平均天天的利润为900元？
⑷当每箱牛奶售价为多少时，平均天天的利润为1200元？
（2021•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上能够用一个矩形
圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，
22）．假设圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，那么这9
个数的和为（）
A．32 B．126 C．135 D．144
11．（2020•兰州）某校九年级学生毕业时，每一个同窗都将自己的
相片向全班其他同窗各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，
若是全班有x名学生，依照题意，列出方程为（）
11．（2021•黔南州）2021年3月25日央视《每周质量播报》报导“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的阻碍，4月初某种药品的价钱大幅度下调，下调后每盒价钱是原价钱的2/3，原先用60元买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价钱4月底开始上升，通过两个月后，药品上调为每盒元．
（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？
（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？
．（2020•绍兴）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全数租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每一年交各类费用1万元，未租出的商铺每间每一年交各类费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元？（2020•南京）某批发商以每件50元的价钱购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月若是单价不变，估量仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，依照市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价钱；第二个月终止后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间第一个月第二个月清仓时
单价（元）80 40
销售量（件）200
（2）若是批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
（2020•新疆）如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到
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