著名不等式荟萃
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地
装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．
一、平均不等式（均值不等式）
设，，…，是个实数，
叫做这个实数的算术平均数。当这个实数非负时，
叫做这个非负数的几何平均数。当这个实数均为正数时，
叫做这个正数的调和平均数。
设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：
，
当且仅当时等号成立。
平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。
设，，…，是个正的变数，则
（1）当积是定值时，和有最小值，且
；
（2）当和是定值时，积有最大值，且
两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值。
最小值。
在中，当时，分别有
时，分别有
，
平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；
立；
（3），当且仅当时等号成立；
时等号成立。
（4），当且仅当时等号成立。
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
，有
对任意两组实数，，…，；，，…，，有
，其中等号当且仅当
时成立。
时成立。
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：
数）是：
（1），，则
（2）
（3）
柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位。
频频出现，这充分显示了它的独特地位。
三、闵可夫斯基不等式
三、闵可夫斯基不等式
，则 设，，…，；，，…，是两组正数，，则
（）
（）
时等号成立。
当且仅当时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：
三角形不等式：
右图给出了对上式的一个直观理解。
右图给出了对上式的一个直观理解。
，则上式为
若记，，则上式为
四、贝努利不等式
四、贝努利不等式
（1）设，且同号，则
，则
（2）设，则
（ⅰ）当 时，有
；
（ⅱ）当
或
时，有
，上两式当且仅当
时等号成立。
不等式（不等式（11）的一个重要特例是）的一个重要特例是
（
）
五、赫尔德不等式五、赫尔德不等式
已知 （
）是
个正实数，
，则，则
上式中若令 ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
六、契比雪夫不等式六、契比雪夫不等式
（1）若
，则，则
；
数学天地（2）若
，
则，则
下面给出一个
时的契比雪夫不等式的直观理解。时的契比雪夫不等式的直观理解。
如图，矩形OPAQ 中， ， ，显然阴影部
分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知）。于是有比较即知）。于是有
，也即，也即
七、排序不等式七、排序不等式
设有两组数
， ，…， ； ， ，…， 满足 ，
则有则有
，式中的 ，
，…， 是1，2，…， 的任意一个排列，式中的等号当且仅当
或
时成立。时成立。
以上排序不等式也可简记为：以上排序不等式也可简记为：
反序和 乱序和 同序和同序和
这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。    八、含有绝对值的不等式八、含有绝对值的不等式
为复数，则为复数，则
，
左边的等号仅当 的幅角差为 时成立，右边的等号仅当 的幅角相等时成立，
这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是
，
也可记为也可记为
绝对值不等式在实数的条件下用得较多。绝对值不等式在实数的条件下用得较多。    九、琴生不等式九、琴生不等式
设
是（
）内的凸函数，则对于（
）内任意的几个实数 有