５法求解圆的方程杜红全（甘肃省康县教育局教研室　７４６５００）
杜红全中学高级教师。主要从事中学数学教育教学和高考数学试题研究，发表论文一百七十多篇
。
１．直接法　
直接法就是根据圆的定义，利用已知条件，确定圆心坐标和半径，直接求出圆的标准方程．例１　求满足下列条件的圆的方程：
（１）圆心在点Ｃ（３，－４）处，半径是槡５；
（２）经过点Ｐ（５，２），圆心是点Ｃ（４，－１）．分析　根据题设条件，可利用圆的方程的定义来解决．
解　（１）因为圆心是点Ｃ（３，－４），
半径是槡５，
所以圆的方程为
（ｘ－３）２＋（ｙ＋４）２＝５．
（２）因为圆的半径是
ｒ＝｜ＰＣ｜＝（５－４）２＋（２＋１）
槡２
＝槡１０，
圆心是Ｃ（４，－１），
所以圆的方程是
（ｘ－４）２＋（ｙ＋１）２＝１０．
２．几何性质法　
几何性质法就是通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求出圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程．常用的几何性质有：圆心与切点的连线垂直于切线；圆心到切点的距离等于圆的半径；圆的弦垂直平分线过圆心；两条弦的垂直平分线的交点为圆心等．例２　求过点Ａ（１，－１）和Ｂ（－１，１），且圆心在直线ｘ＋ｙ－２＝０上的圆的方程．分析　利用圆的几何性质求出圆的圆心和半径后，再写出方程．
解法１　设点Ｃ为圆心，
因为点Ｃ在直线ｘ＋ｙ－２＝０上，
所以可设点Ｃ的坐标为（ａ，２－ａ）．
又因为该圆经过Ａ，Ｂ两点，
所以｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜．
所以（ａ－１）２＋（２－ａ＋１）
槡２
＝（ａ＋１）２＋（２－ａ－１）
槡２，
解得ａ＝１．
所以圆心Ｃ的坐标为（１，１），
半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝２．
故所求圆的标准方程为
（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４．
解法２　由已知可得
线段ＡＢ中点的坐标为（０，０），
ｋＡＢ＝
１－（－１）
－１－１
＝－１，
所以弦ＡＢ的垂直平分线的斜率为ｋ＝１，
弦ＡＢ的垂直平分线的方程为
ｙ－０＝１×（ｘ－０），
即ｙ＝ｘ．
则圆心是直线ｙ＝ｘ与ｘ＋ｙ－２＝０的交点，由
ｙ＝ｘ，
ｘ＋ｙ－２＝０，
烅
烄
烆
得
ｘ＝１，
ｙ＝１，
烅
烄
烆
数学天地
即圆心为（１，１），
圆的半径为
（１－１）２＋［１－（－１）］
槡２＝２．
·
９
１
·
２０２１年第１期数学中的思想和方法《数理天地》高中版
故所求圆的标准方程为
（ｘ－１）２＋（ｙ－１
）２
＝４．注　一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质转化较为简单，充分体现了解析几何问题的代数方法和几何方法的有机结合的特点．本题还可以用待定系数法求解．
３．
待定系数法　圆的方程中，有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法就是待定系数法．待定系数法就是先设出圆的方程，然后根据条件求出方程中的参数．
（１
）设圆的标准方程例３　求与ｘ轴交于Ａ（１，０）和Ｂ（５，０）两点，且半径为槡５的圆的方程．
分析　可设出圆的标准方程，再把Ａ，Ｂ两点的坐标代入，用待定系数法求解．
解　设圆的标准方程为
（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝５．
因为
Ａ，Ｂ在圆上，
所以Ａ，Ｂ坐标满足方程（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２
＝５．
把Ａ，Ｂ坐标代入该方程得
（１－ａ）２
＋（０－ｂ）２
＝５，（５－ａ）２＋（０－ｂ）２＝５，烅烄烆
解得
ａ＝３，ｂ＝１烅烄
烆
或ａ＝３，ｂ＝－１．烅
烄烆故所求圆的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ－１
）２＝５或
（ｘ－３）２＋（ｙ＋１
）２＝５．注　如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心的坐标或半径列方程解题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出ａ，ｂ，ｒ；
本题还可以用几何性质法求解．（２
）设圆的一般方程例４　已知△ＡＢＣ的三个顶点为Ａ（１，４），Ｂ（－２，３），Ｃ（４，－５），求△ＡＢＣ的外接圆方程．分析　已知三个顶点都在圆上，可采用圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的方程．
解　设△ＡＢＣ的外接圆方程为
ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０．
因为Ａ，Ｂ，Ｃ在圆上，
所以
１＋１６＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０，４＋９－２Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０，１６＋２５＋４Ｄ－５Ｅ＋Ｆ＝０，烅
烄
烆
解得
Ｄ＝－２，Ｅ＝２，Ｆ＝－２３．烅
烄
烆
所以△ＡＢＣ的外接圆方程为
ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋２ｙ－２３＝０．４．
利用圆的直径式方程　已知一个圆的一条直径的端点是Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则圆的方程可表示为（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０，此方程称为圆的直径式方程．
例５　求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和圆ｘ２＋
ｙ２
＋２ｘ－４ｙ＋１＝０的交点，
且面积最小的圆的方程．
分析　设直线和圆的交点为Ａ，Ｂ，面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆，故可以利用圆的直径式方程求解．
解　由２ｘ＋ｙ＋４＝０，ｘ２＋ｙ２
＋２ｘ－４ｙ＋１＝０，烅烄
烆
得
交点Ａ－１１５，２
５
（）
，Ｂ（－３，
２）．因为
面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆，
故所求的圆方程为
ｘ＋１１５（
）（ｘ＋３）＋ｙ－２
５（）
（ｙ－２），即
ｘ２＋ｙ２＋２６５ｘ－１２５ｙ＋３７
５＝０．
注　求解本题的关键是知道面积最小的圆
是以直线和圆的交点为直径的圆，此题虽然还可以利用圆的性质求出圆心的坐标和半径求解，但
·
０２·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第１期
是用圆的直径式方程求解比较简便，当然本题还可以用过直线与圆交点的圆系方程求解．５．利用圆系方程　
具有某种共同性质的圆的集合称为圆系，含有参数的圆的方程称为圆系方程．常用的圆系方程类型有以下几种：
（１）同心圆系
①以（ａ，ｂ）为圆心的同心的圆系方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝λ２（λ为参数，λ＞０）；
②与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋λ＝０（λ为参数）；同心圆系图象特点是位置相同，大小不同．
（２）半径相等的圆系方程为（ｘ－ｍ）２＋（ｙ－ｎ）２＝ｒ２（ｍ，ｎ为参数），图象特点是大小一样，位置不同．
（３）过直线与圆交点的圆系方程．设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０相交，则方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ（Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ）＝０（λ为参数）表示过直线ｌ与圆Ｃ的两个交点的圆系方程．
（４）过两圆Ｃ
１：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ
１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１
＝０和Ｃ２：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０交点的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ（ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２）＝０（λ为参数，λ≠－１，且不含圆Ｃ２），特别提示：
①由于该圆系方程不包括圆Ｃ２，因此直接应用该圆系方程必须检验Ｃ２是否满足题意，谨防漏解；
②当参数λ＝－１时，该方程为过两圆交点的一条直线方程：
（Ｄ
１－Ｄ２）ｘ＋（Ｅ
１－Ｅ２
）ｙ＋（Ｆ
１－Ｆ２
）＝０．
例６　有一圆与直线ｌ：４ｘ－３ｙ＋６＝０相切于点Ａ（３，６），且圆经过点Ｂ（５，２），求此圆的方程．
分析　将点Ａ（３，６）视为“点圆”：（ｘ－３）２＋（ｙ－６）２＝０，然后利用过直线与圆交点的圆系方程求解．
解　根据题意可设所求圆的方程为
（ｘ－３）２＋（ｙ－６）２＋λ（４ｘ－３ｙ＋６）＝０，把点Ｂ（５，２）的坐标代入方程，解得
λ＝－１．
故所求圆的方程为
ｘ２＋ｙ２－１０ｘ－９ｙ＋３９＝０．
注　所谓“点圆”就是半径为０的圆，所以一个孤立的点Ｃ（ａ，ｂ）的图形可以看成“点圆”，即点Ｃ（ａ，ｂ）的圆的方程可表示为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝０，在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时，把切点视为“点圆”是一个重要方法技巧；本题还可用几何性质法和待定系数法求解．
例７　求以圆Ｃ
１
：ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ－１６ｙ－２５＝０的公共弦为直径的圆的方程．
分析　可先求公共弦所在直线的方程，再利用过两圆交点的圆系方程求解．
解　联立两圆方程
ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０，
ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０，
烅
烄
烆
相减，得公共弦所在直线的方程为
４ｘ＋３ｙ－２＝０．
设所求圆的方程为
ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＋
λ（ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５）＝０，
（λ为参数，λ≠－１），
由此可得圆心Ｃ－１２λ－１２
２（１＋λ）
，－１６λ－２
２（１＋λ）
（）．因为圆心Ｃ在公共弦所在的直线上，所以
４·
－（１２λ＋１２）
２（１＋λ）
＋３·
－（１６λ＋２）
２（１＋λ）
－２＝０，
解得λ＝１
２
．
故所求圆的方程为
ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋４ｙ－１７＝０．
·
１
２
·
２０２１年第１期数学中的思想和方法《数理天地》高中版