1
倍
长中线�线段�造全等 1
、已知�如图�A D 是△A B C 的中线�B E 交A C 于E �交
A D 于F �且 A E =E F �求证�A C =
B F  A
B
C
D
E F
分
析�要求证的两条线段A C 、B F 不在两个全等的三角形
中�因此证A C =B F 困难�考虑能否通过辅助线把A C 、B
F 转化到同一个三角形中�由A D 是中线�常采用中线倍长法�故延长A D 到
G �使D G =A D �连B G �再通过全
等三角形和等线段代换即可证出。
2、已知在△A B C 中�A D 是B C 边上的中线�E 是A D 上
一点�且B E =A C �延长B E 交A C 于F �求证�A F =E F  F E
D
A
B
C
提示�倍长A D 至G �连接B G �证明ΔB D G ≌ΔC D A
三角形B E G 是等腰三角形
3、已知�如图△A B C 中�A B =5�A C =3�则中线A D 的取值范
围是_________. D C
B
A
4
、在△A B C 中,A C =5，中线A D =7�则A B 边的取值范围是
(  )    A 、1<A B <29    B 、4<A B <24      C 、5<A B <19    D 、9<A B <19
5、已知�A D 、A E 分别是△A B C 和△A B D 的中线�且B
A =
B D � 求证�A E =2
1
A
C
A
B
C
D
E
6
、如图�△A B C 中�B D =D C =A C �E 是D C 的中点�求证�A
D 平分∠B A
E . E D C B
A
7
、已知C D =A B �∠B D A =∠B A D �A E 是△A B D 的中线�求
证�∠C =∠B A E
A
B
C
D
E
提示�倍长A E 至F �连结D F        证明ΔA B E ≌ΔF D E �S A S � 进
而证明ΔA D F ≌ΔA D C �S A S �
8、如图23�△A B C 中�D 是B C 的中点�过D 点的直线G F 交
A C 于F �交A C 的平行线
B G 于G 点� D E ⊥D F �交A B 于点E �连结E G 、E F .
⑴求证�B G =C F  ⑵请你判断B E +C F 与E F 的大
小关系�并说明理由。
2 43
2
1
D
E
A
B
C A
D
B
C
E
9
、如图�A D 为A B C �的中线�D E 平分B D A �交A B 于
E �D
F 平分A D C �交A C 于F . 求证�E F C F B E �� 第 14 题图 D
F
C B
E
A
方法1�在D A 上截取D G =B D �连结E G 、F G        证明ΔB D E ≌ΔG D E    ΔD C F ≌ΔD G F
所以B E =E G 、C F =F G        利用三角形两边之和大于第三边 方法2�倍长E D 至H �连结C H 、F H
证明F H =E F 、C H =B E        利用三角形两边之和大于第三边
1
0、如图�△A B C 中�E 、F 分别在A B 、A C 上�D E ⊥D F �D 是
中点�试比较B E +C F 与E F 的大小. E
D
F C
B
A
11、已知�如图�在A B C �中�A C A B ��D 、E 在B C 上�且D E =E C �过
D 作B A D F //交A
E 于点
F �D F =A C . 求
证�A E 平分B A C �
第
1 题图 A
B
F D
E
C
方法1�倍长A E 至G �连结D G  方法2�倍长F E 至H �连结C H
截
长补短 7
.9作业�已知�四边形A B C D 中�A B ∥C D �∠1�∠2� ∠
3�∠4。求证�B C �A B �C D 。
1
、如图�A D ∥B C �点E 在线段A B 上�∠A D E =∠C D E �∠
D C
E =∠E C B . 求
证�C D =A D +B C .
证
明�在C D 上截取C F =B C  在
△F C E 与△B C E 中� �
��
��
�����C E C E B C E F C E C B C F
∴
△F C E ≌△B C E �S A S �, ∴
∠2=∠1. 又∵A D ∥B C � ∴∠A D C +∠B C D =180°� ∴∠D C E +∠C D E =90°� ∴
∠2+∠3=90°�∠1+∠4=90°� ∴
∠3=∠4. 在△F D E 与△A D E 中� ���
��
数学八年级上册
�������43D E D E A D E F D E
∴
△F D E ≌△A D E �A S A �� ∴
D F =D A � ∵C D =D F +C F � ∴C D =A D +B C .
A
D
B
C
E
F
123
4
3
F
D
C
B
A
12E
D C
B
A 122
、已知�如图�在△A B C 中�∠C �2∠B �∠1�∠2. 求
证�A B =A C +C D .
证明�方法一�补短法� 延长A C 到E �使D C =C E �则∠C D E �∠C E D � ∴
∠A C B �2∠E � ∵∠A C B �2∠B � ∴∠B �∠E � 在△A B D 与△A E D 中, ���
��
�������A D A D E B 21
∴
△A B D ≌△A E D �A A S �, ∴
A B =A E . 又A E =A C +C E =A C +D C � ∴
A B =A C +D C .
方法二�截长法� A B 上截取A F =A C � 在△A F D 与△A C D 中, ���
��
�����A D A D A C A F 21
∴
△A F D ≌△A C D �S A S �, ∴D F =D C �∠A F D �∠A C D . 又
∵∠A C B �2∠B � ∴∠F D B �∠B � ∴
F D =F B . ∵A B =A F +F B =A C +F D � ∴
A B =A C +C D .
3、如图�在△A B C 中�∠B A C =60°� A D 是∠B A C 的平分线
�且A C =A B +B D �求∠A B C  的度数 D C B
A
4
、如图�已知在△A B C 中�∠B =60°�△A B C 的角平分线A
D ,C
E 相交于点O �求证�O E =O D  O
E
D
C
B
A
5
、已知A B C �中�60A ���B D 、C E 分别平分A B C �和.A C B ��B D 、C E 交于点O �试判断B E 、C D 、B C 的
数量关系�并加以证明�
6
、如图�已知在A B C 内�0
60B A C ���0
40C ���P �Q 分别在B C �C A 上�并且A P �B Q 分别是B A C ��A B C �
的角平分线。求证�B Q +A Q =A B +B P  P
Q
C
B
A
7
、如图在△A B C 中�A B �A C �∠1�∠2�P 为A D 上任意一
点�求证;A B -A C �P B -P C  P
21
D C
B
A
D
C
B
A
12
D O E
C
B
A
4 图十一4
3
2
1
P A
B
C
8
、如图�点M 为正三角形A B D 的边A B 所在直线上的任意一点(点B 除外)�作60D M N ����射
线M N 与D B A ∠外
角的平分线交于点N �D M 与M N 有怎样的数量关系?
角
平分线上的点向角两边引垂线段
1、如图�在四边形A B C D 中�B C �B A ,A D �C D �
求证�∠B A D +∠C =180°
D
C
B
A
2、如图�四边形A B C D 中�A C 平分∠B A D � C E ⊥A B 于E �A D +A B =2A E �则∠B 与∠A D C 互补. 为
什么�
3、如图4�在△A B C 中�B D =C D �∠A B D =∠A C D ，求证A D 平
分∠B A C .
4
、如图�在△A B C 中�∠A B C =100°�∠A C B =20°�C E 平分∠A C B �D 是A C 上一点�若∠C B D =20°�求∠
A D E 的度数.
7.5作业�已知�A B �A D �∠1�∠2�C D �B C 。 求
证�∠A D C �∠B �180°。
图
九21
C
B
A
D
7.6作业�如图�在△A B C 中∠A B C ,∠A C B 的外角平分线
交P .求证:A P 是∠B A C 的角平分线
7
.6作业�如图,∠B =∠C =90°,A M 平分∠D A B ,D M
平分
∠A D C 求证：点M 为B C 的中点
D
B
E
A
C  A
B  C
D
N
E
B
M
A
D
5
连
接法�构造全等三角形� 7
.9作业�已知�如图所示�A B �A D �B C �D C �E 、F 分
别是D C 、B C 的中点�求证� A E �A F 。
1
、如图�直线A D 与B C 相交于点O �且A C =B D �A
D =B C �求证�C O =D O �                  A
O
D C
B
2
、已知�如图16�A B =A E �B C =E D �点F 是C D 的中点�A F ⊥C D �求证�∠B =∠E �                                    A
F D C
B
E
3
、如图 11-30�已知A B �A E �∠B �∠E �B C �E D �点
F 是C D 的中点.求证�A F ⊥C D . F
E
D
C
B
A
4
、在正A B C �内取一点D �使D A D B ��在A B C �外取一点E �使D B E D B C ����且B E B A ��求B E D �.
5
、如图所示�B D =D C ,D E ⊥B C ，交∠B A C 的平分线于E �E
M ⊥A B ,E N ⊥A C ，求证�B M =C N
6
、如图�在△A B D 和△A C D 中�A B =A C �∠B =∠C �求证
�△A B D ≌△A C D � A
D
C
B
全
等+角平分线性质 1、如图21�A D 平分∠B A C �D E ⊥A B 于E �D F ⊥A C 于F �且
D B =D C �求证�
E B =
F C
2、已知�如图所示�B D 为∠A B C 的平分线�A B =B C �点P 在B D 上�P M ⊥A D 于M �•P N ⊥C D 于N �判断P
M 与P N 的关系�
P D A
C B
M N
A
C
N
E
M
B
D
D
B
C
c  A
F  E
D
E
C
B A