北师大版八年级数学上册综合复习试题含答案
【第1章】
三、解答题(共84分)
13．(6分)如图，∠B＝∠ACD＝90°，CD＝12，BC＝3，AD＝13，则AB的长是多少？
解：∵∠ACD＝90°，CD＝12，AD＝13，
∴AC2＝AD2－CD2＝132－122＝25.
又∵∠B＝90°，∴AB2＝AC2－BC2＝25－9＝16，
∴AB＝4.
答：AB的长是4.
14．(6分)如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B，A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：依题意，得∠1＝∠2＝45°，∴△AOB是Rt△.
∴AO2＋BO2＝AB2，∴(16×)2＋OA2＝302.
解得OA＝18，18÷＝12(海里/时)
答：乙船每小时航行12海里．
15．(6分)在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺(如图)．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
    　    题图          　答图
解：设水深h尺．
如答图，在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝(h＋3)尺，BC＝6尺．
由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，
即(h＋3)2＝h2＋62，解得h＝4.5.
所以水深4.5尺．
16．(6分)如图，在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB.若AB＝20，求△ABD的面积．
解：在△ADC中，AD＝15，AC＝12，
DC＝9，AC2＋DC2＝122＋92＝152＝AD2，
即AC2＋DC2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，
在Rt△ABC中，
BC2＝AB2－AC2＝202－122＝256，
∴BC＝16，∴BD＝BC－DC＝16－9＝7
∴△ABD的面积＝×7×12＝42.
17．(7分)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．
解：设DE＝x，则AE＝9－x，由折叠可得BE＝DE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴BE2＝AE2＋AB2，
∴x2＝32＋(9－x)2，
解得x＝5，即BE＝5.
18．(7分)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？
解：因为AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°，
所以AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝4.
∴AC＝2，
因为BD＝0.5，所以在Rt△ECD中，
CE2＝DE2－CD2＝2.52－(CB＋BD)2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝2.25.
∴CE＝1.5，
所以AE＝AC－EC＝0.5.
答：滑竿顶端A下滑了0.5米．
19．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16 cm，正方形BCEF数学八年级上册的面积为144 cm2，BD⊥AC于点D，求BD的长．
解：∵正方形BCEF的面积为144 cm2，
∴BC2＝144，∴BC＝12 cm，
∵AB＝16 cm，∴AC2＝162＋122＝400，∴AC＝20 cm，
∵BD⊥AC，∴S△ABC＝×AB·BC＝BD·AC，
∴×16×12＝×20×BD
∴BD＝ cm.
20．(7分)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明AN2－BN2＝AC2.
解：因为MN⊥AB，
所以AN2＋MN2＝AM2，BN2＋MN2＝BM2，
所以AN2－BN2＝AM2－BM2.
因为AM是中线，所以MC＝BM.又因为∠C＝90°，
所以在Rt△AMC中，AM2－MC2＝AC2，
所以AN2－BN2＝AC2.
21．(10分)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.
(1)求证：DF＝FG；
(2)若AB＝6 cm，BC2＝96 cm2，求FD的长．
(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，
∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，EF2＝EG2＋FG2＝ED2＋DF2，
∴DF＝FG.
(2)解：设DF＝x cm，则BF＝(6＋x) cm，CF＝(6－x) cm，
在Rt△BCF中，96＋(6－x)2＝(6＋x)2
解得x＝4，
∴FD＝4 cm.
22．(10分)牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛先到河边饮水，然后在天黑前赶回家．如图，A点到河边C的距离为500 m，点B到河边D的距离为700 m，且CD＝500 m.
(1)请在原图上画出牧童回家的最短路线；
(2)求出最短路线的长度．
解：(1)作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接AP，则AP－PB即为所求作的最短路线．
(2)由作图可得最短路程为A′B的距离，过点A′作A′F⊥BD的延长线于点F，则DF＝A′C＝AC＝500 m，
A′F＝CD＝500 m，BF＝700＋500＝1 200 m，
根据勾股定理可得A′B＝＝1 300米．
∴最短路线为1 300米．
23．(12分)△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．