八年级数学上册复习提纲
第11章数的开方
§11.1平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根
1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。
a
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±（读作：正负根号a）；算术
a
平方根（读作根号a）
a
即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的
a a
算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：
已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）
即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为
3a
根指数。
中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
3a
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知
指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：
1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是
a a3a a
a；“”→问：哪个非负数的平方是a；“”→问：哪个数的立方是a。
a3a
2、注意和中的a的取值范围的应用。
a3a
如：若有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）x
3
（填：x ≥3）
若有意义，则x 取值范围是            。（填：全体实数）32009x -3、。如：∵，，∴33a a -=-3273-=-3273-=-3327
27-=-4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。
如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不256710>>>>32知道就问）
5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。
如：确定的取值范围。∵＜＜，∴2＜＜3。
747976、几个常见的算数平方根的值：，，，414.12≈732.13≈236.25≈，。
449.26≈646.27≈八、补充的二次根式的部分内容
1、二次根式的定义：形如（a ≥0）的式子，叫做二次根式。a
2、二次根式的性质：(1)（a ≥0，b ≥0）；(2)
b a ab ∙=（a ≥0，b ＞0）；
b
a
b
a =(3) （a ≥0）；          (4) a a =2)(|
|2a a =3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a ≥0，b ≥0）；（2）除
ab b a =∙法：
（a ≥0，b ＞0）b
a
b
a
=
§11.2实数与数轴
一、无理数
1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数：
（1）开方开不尽的数。如：，等。
256710，，，，2532617102-++-，，，（2）“”类的数。如：，，，，等。
πππ-3
π
π
1
π2（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，
等
二、实数
1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。
2、与实数有关的概念：
（1）相反数：实数a 的相反数为-a 。若实数a 、b 互为相反数，则a+b =0。
（2）倒  数：非零实数a 的倒数为（a ≠0）。若实数a 、b 互为倒数，则
a
1ab =1。
（3）绝对值：实数a 的绝对值为：⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=)0()
0(0)0(||a a a a a a 3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：
（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：
5、几个“非负数”：（1）a 2≥0；（2）|a|≥0；（3）≥0。a
6、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第12章  整式的乘除§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则：a m ·a n ·a p ·……=a m+n+p+……（m 、n 、p……均为正整数）  文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项：
（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。
如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；
πππππ()3·()4=()3+4=()7；(a+b )3·(a+b )4·(a+b )= (a+b )3+4+1=(a+b )8
2222（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方
1、法则：(a m )n =a mn （m 、n 均为正整数）。推广：｛[(a m )n ]p ｝s =a mn p s    文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2、注意事项：
（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2)3=2×3=6；[()3]4=()3×4=()12；[(a-b )2]4= (a-b )πππ2222×4=(a-b )8
（2）运用时注意符号的变化。数学八年级上册
（3）注意该法则的逆应用，即：a mn = (a m )n ，如：a 15= (a 3)5= (a 5)3三、积的乘方
1、法则：(ab )n =a n b n （n 为正整数）。推广：(acde )n =a n c n d n e n
文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2、注意事项：
（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2)3=222=42；(×)2=()2×()2=2×3=6；πππ2323(-2abc )3=(-2)3a 3b 3c 3=-8a 3b 3c 3；[(a +b )(a -b )]2=(a +b )2(a -b )2（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a n b n  =(ab )n ；如：23×33= (2×3)3=63，(x +y )2(x -y )2=[(x +y )(x -y )]2
四、同底数幂的除法
1、法则：a m ÷a n =a m-n （m 、n 均为正整数，m ＞n ，a ≠0）  文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、注意事项：
（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。
如：4÷3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；
ππππ()6÷()4=()6-4=()2=2；(a+b )16÷(a+b )14= (a+b )16-14=(a+b )2=a 2+2ab
2222+b 2
（2）注意a ≠0这个条件。
（3）注意该法则的逆应用，即：a m-n  = a m ÷a n ；如：a  x-y = a x ÷a y ，(x +y )2a-3=(x +y )2a ÷(x +y )3
§12.2 整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
如：(-5a 2b 2)·(-4 b 2c )·(-ab )=[(-5)×(-4)×(-)]
2
32
3·(a 2·a )·(b 2·b 2)·c  =-30a 3b 4c
二、单项式与多项式相乘
法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：(-3x 2)·(-x 2)+(-3x 2)·2 x 一(-3x 2)·1=22(3)(21)x x x --+-=432
363x x x -+三、多项式与多项式相乘
法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：(m+n )(a +b )= ma+mb+na +nb
(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的
每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：(m+n )(a +b )= (m+ n )a+( m  +n )b = ma+ na+mb +nb
§12.3 乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式：(a+b )(a-b )=a 2-b 2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；
(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；
ππ
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式
1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-22222
2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；
( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；
ππππππ（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca
特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。
§12.4 整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c
（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2
5（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）
=20a2+20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+
7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-
y)=4y-2x
◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。
§12.5 因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）