备战2023高考数学考前必备4——
二级结论
1：子集的个数问题
-个非空子集，有()22n
-个非空真子集.
理解：A 的子集有2n 个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n 个元素共有2n 种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.
对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题.另外要注意子集､真子集､子集､非空真子集之间的联系有区别.
2：子集､交集､并集､补集之间的关系
()()I I A B A A B B A B A C B
A B I =⇔=⇔⊆⇔=∅⇔= ð（其中I 为全集）.（1）当=A B 时，显然成立；
（2）当A B Ö时，venn 图如图所示，结论正确
.
这个结论通过集合的交､并､补运算与集合的包含关系的转换解决问题.
3.均值不等式链
22
2
++1122+a b a b ab a b ≤
≤≤
（>0,>0a b ，当且仅当=a b 时取等号）
4.两个经典超越不等式
（1）对数形式：1+ln (>0)x x x ≥，当且仅当=1x 时，等号成立．（2）指数形式：+1()x e x x R ≥∈，当且仅当=0x 时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：>+1>>1+ln x e x x x （0x >且1x ≠）
上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：()2+1=1+++++
2!!+1!
n x
x
n x x e e x x n n θ ，()()
()
23+1
+1ln 1+=-+-+-1+23
+1n n n x x x x x o x n ，截取片段：()()()+1R , ln 1+>-1x e x x x x x ≥∈≤，当且仅当=0x 时，等号成立；进而：()ln -1>0x x x ≤，当且仅当=1x 时，等号成立．
1.奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D ，则f(0)=0．2.函数周期性问题
【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有
f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D ，则f(0)=0．已知定义在R 上的函数f(x)，若对任意x ∈R ，总存在非零常数T ，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T 为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f (x +a )=-f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ．(2)如果f (x +a )=
()
1
f x (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ．(3)如果f (x +a )+f (x )=c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ．(4)如果f (x )=f (x +a )+f (x -a )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =6a ．
3.不同底的指数函数图像变化规律
当底数大于1时，底数越大指数函数的图像越靠近y 轴；当底数大于0且小于1时，底数越小，指数函数的图像越靠近y 轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：01c d b a <<<<<，即图1中由y 轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.
图1
4.不同底的对数函数图像变化规律
当底数大于0且小于1时，底数越小，对数函数的图像越靠近x 轴；当底数大于1时，底数越大，对数函数的图像越靠近x 轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：01b a d c <<<<<，即图2中，在x 轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大.
图2
5.方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1
x f x k -+=的根
若函数=()y f x 是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x -=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.
在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于=y x 对称，即()()00,x f x 与()()00,f x x 分别在函数
()=y f x 与反函数()1y f x -=的图像上.
若方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1
x f x k -+=的根为2x ，则12x x k +=.
1.降幂扩角公式
【结论阐述】()()221cos =1+cos2,2
1sin =1cos2.2ααα-α⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
2.升幂缩角公式
【结论阐述】22
1+cos2=2cos ,
1cos2=2sin .
αα-αα⎧⎨⎩3.万能公式
【结论阐述】①2
2tan
2sin =
1+tan 2
α
αα
；②22
1tan 2cos =
1+tan 2
α-αα
；③2
2tan
2tan 1tan 2
α
αα
=-.
3.正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C
若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．
4.射影定理
在ABC 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+
．
1.等差数列的性质
设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则有如下性质：
项的性质
在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
2,,,n n m n m a a a ++ 为等差数列，公差为
md
从第二项起每一项是它前一项与后一项的等差中项，也是与它等间距的两项的等差中项：
()()
1122,2n n n n n k n k a a a n a a a n k -+-+=+≥=+>两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等：即若m n r s +=+，则
m n r s a a a a +=+；若
,m n p r s t ++=++则m n p r s t
a a a a a a ++=++若
{}{},n n a b 为项数相同的等差数列，则{}n n ka lb ±仍为等差数列（,k l 为常数）
等差数列的图像是直线上一列均匀分布的孤立点(当0d ≠时，()1n
a dn a d =+-是n
的一次函数)
和的性质
①
232,,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列，公差为2n d
②当0d ≠时，
2122n d d S n a n ⎛⎫=
+- ⎪⎝
⎭是n 的二次函数③n S n ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭是等差数列
③n 为奇数时，
12
1,
,1
n n S n S S a S na S n +--===+奇奇中偶偶；n 为偶数时，
2
1
2
,=2n
备战高考n
a S n
S S d S a +-=奇奇偶偶④若
{}{},n n a b 为项数相同的等差数列，且前n 项和分别为n S 与,
n T 则
()()21
212121
21,21n m m n m m m m m S a S a b T b n T -----==
-（处理方法分别设221122,n n S A n B n T A n B n
=+=+）
单调性
在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
2,,,n n m n m a a a ++ 为等差数列，公差为
md
2.等比数列的性质
设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，则有如下性质：
项的性质
在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比列，即
2,,,n n m n m a a a ++ 为等比数列，公比为.m
q 从第二项起每一项是它前一项与后一项的等比数列，也是与它等间距的两项的等比中项.两积式项数相同，下标和相等，则两式积相等：即若,m n r s +=+则
m n r s a a a a =；若
,m n p r s t ++=++则m n p r s t
a a a a a a =若
{}{},n n a b 为项数相同的等比数列，则①{}log c n a （其中0,n a c >为常数）为等差数列；②
{}{}{}{}{}{}
1,,,,,,,k
n n n n n
n
mn
n
n n a ka a b a a a a a b ⎧⎫⎧⎫
⎨
⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
（其中
0,n a k >为常数）为等比数列.
等比数列的图像是一列分布的孤立点(当0q ≠时，n
n a Aq =是n 的指数型函数)
1212221223,,k k k k k k k A a a a B a a a C a a a ++++=== ，则,,A B C 成等比数列
和
①若
{}n a 是1q ≠-的等比数列，则数列232,,,n n n n n S S S S S -- 也成等比数列（其中n 为常数）
；
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