2022年全国硕士研究生招生考试
数学二
一、选择题：小题，每小题5考研时间2022考试时间分，共50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.
1.当时，，是非零无穷小量，给出以下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则.
其中所有真命题的序号是（  ）.
A.         B.       C.       D.
2.（  ）.
A.      B.          C.        D.
3.设函数在处有2阶导数，则
A.当在的某邻域内单调增加时，
B.当时，在的某邻域内单调增加
C.当在的某邻域内是凹函数时，
D.当时，在的某邻域内是凹函数
4.设函数连续，令，则（  ）.
A.，              B.，
C.，            D.，
5.设为常数，若反常积分收敛，则的取值范围是（  ）.
A.          B.        C.        D.
6.设，则（  ）
A.若存在，则存在
B.若存在，则存在
C.若存在且存在，则不一定存在
D.若存在且存在，则不一定存在
7.，，，则
A.    B.    C.  D.
8.设为三阶矩阵，，则的特征值为的充分必要条件是（  ）.
A.存在可逆矩阵，使得    B.存在可逆矩阵，使得
C.存在正交矩阵，使得      D.存在可逆矩阵，使得
9.设矩阵，，则线性方程组解的情况为（  ）.
A.无解      B.有解    C.有无穷多解或无解      D.有唯一解或无解
10.设，，，，若与等价，则（  ）.
A.              B.
C.  D.
二、填空题：小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11.极限          .
12.已知函数由方程确定，则    .
13.        .
14.微分方程的通解    .
15.已知曲线的极坐标方程为，则围成有界区域的面积为          .
16.设为3阶矩阵，交换的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，得到矩阵，则的迹      .
三、解答题：小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸制定位置上.
17.已知函数在处可导且，求.
18.设函数是微分方程满足条件的解，求曲线的弧长.
19.已知平面区域,计算.
20.已知可微函数满足且，.
（1）记，求；
（2）求的表达式和极值.
21.设函数在内具有2阶连续导数，证明：的充分必要条件是：对不同实数，.
22.已知二次型，
（1）求正交变换将化为标准形；
（2）证明：.