2022年全国硕士研究生招生考试
数学三
一、选择题：小题，每小题5分，共50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.
1.当时，，是非零无穷小量，给出以下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则.
其中所有真命题的序号是（  ）.
A.         B.       C.       D.
2.已知，则（  ）.
A. 有最大值，有最小值        B. 有最大值，没有最小值
C. 没有最大值，有最小值      D. 没有最大值，没有最小值
3.设函数连续，令，则（  ）.
A.，              B.，
C.，            D.，
4.，，，则
A.    B.    C.  D.
5.设为三阶矩阵，，则的特征值为的充分必要条件是（  ）.
A.存在可逆矩阵，使得    B.存在可逆矩阵，使得
C.存在正交矩阵，使得      D.存在可逆矩阵，使得
6.设矩阵，，则线性方程组解的情况为（  ）.
A.无解      B.有解    C.有无穷多解或无解      D.有唯一解或无解
7.设，，，，若与等价，则的取值范围是（  ）.
A.                      B.
C.    D.
8.设随机变量，随机变量，且与不相关，则（  ）.
A.2                B.4                C.6                D.10
9.设随机变量序列独立同分布，且的概率密度为，则当时，依概率收敛于（  ）.
A.        B.      C.        D.
10.设二维随机变量的概率分布
   
0
1
2
-1
0.1
0.1
1
0.1
0.1
考研时间2022考试时间若事件与事件相互独立，则（  ）.
A.          B.        C.      D.
二、填空题：小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11.极限          .
12.    .
13.已知函数，则      .
14.已知函数，则    .
15.设为3阶矩阵，交换的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，得到矩阵，则的迹      .
16.设为随机事件，且互不相容，互不相容，相互独立，，则      .
三、解答题：小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸制定位置上.
17.设函数是微分方程满足条件的解，求曲线的渐近线.
18.设某产品的产量由资本投入量和劳动投入量决定，生产函数为，该产品的销售单价与的关系为，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.
19.已知平面区域，计算.
20.求幂级数的收敛域及和函数.
21. 已知二次型，
（1）求正交变换将化为标准形；
（2）证明：.
22.设为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本,为来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中是未知参数，利用样本，求的最大似然估计量，并求.