2022年全国硕士研究生招生考试（数学一）
试题参考解答
一、选择题（1-10题，每题5分，共计50分） 1.已知)(x f 满足1ln )
(lim
1
=→x
x f x ，则 （ B ）
A.0
)1(=f B.0
)(lim 1
=→x f x C.1
)
1(='f D.1)(lim 1
='→x f x .
解答：由极限的四则运算法则可知：
010ln )
(lim ln lim ln )(ln lim )(lim 11
1
1
=⨯=⋅=⋅
=→→→→x x f x x x f x x f x x x x .
故本题选B.
2.已知)(x y
xyf z =，且)(u f 可导，若)ln (ln 2x y y y
z
y x z x
−=∂∂+∂∂，则 （ B ）
A.1
(1),(1)02f f '=
= B.2
1)1(,0)1(=
'=f f . C.1
(1),(1)1
2
f f '== D.(1)0,(1)1
f f '==解答：)()()()()(22x
y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z '−=−⋅'+=∂∂.
)()(1)()(x
y f y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂. 所以)(2x y xyf y z y x z x
=∂∂+∂∂，从而x
y x y x y f x y y x y xyf ln 21)(ln )(22⋅=⇒=故x x x f ln 21)(=
，从而)1(ln 21)(+='x x f ，所以0)1(=f ，2
1
)1(='f .
故本题选B.
3.设有数列}{n x ，满足2
2
π
π
≤
≤−
n x ，则 （ D ）
A.若)cos(sin lim n n x ∞
考研时间2022考试时间→存在，则n n x ∞
→lim 存在.
B.若)sin(cos lim n n x ∞
→存在，则n n x ∞
→lim 存在.
C.若)cos(sin lim n n x ∞
→存在，则n n x sin lim ∞→存在，但n n x ∞
→lim 不一定存在.
D.若)sin(cos lim n n x ∞
→存在，则n n x cos lim ∞→存在，但n n x ∞
→lim 不一定存在.
解答：对于选项A ，取n n x )1(−=，显然不对. 对于选项B ，取n n x )1(−=，显然不对.
对于选项C ，取n n x )1(−=，则n n x sin lim ∞
→不存在，所以该选项错误.
对于选项D ，由于)sin(cos lim n n x ∞
→存在，不妨记为A ，由于x sin 在]2
,
0[π
单调，
所以有A x n n arcsin cos lim =∞
→，但如果取n n x )1(−=也可发现n n x ∞
→lim 不一定存在.
故本题选（D ）.
4.已知⎰+=1
01)cos 1(2dx x x I ，⎰++=102cos 1)1ln(dx x x I ，⎰+=103sin 12dx x
x
I ，则 （ A ）
A.321I I I <<
B.312I I I <<
C.231I I I <<
D.1
23I I I <<；解答：由于)1,0(∈x 时，
ln(1)21x x
x x,x
<<+<+，容易知道21I I <. 由于21)1ln(cos 1)1ln(1010102=<+<++=⎰⎰⎰xdx dx x dx x x I ，2
1
221103=>⎰xdx I .
所以23I I >，故321I I I <<，故本题选A.
5.下列四个条件中，3阶矩阵A 可相似对角化的一个充分但不必要条件为（ A ）
A.A 有三个不相等的特征值
C.A 有三个两两线性无关的特征向量
D.A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.
解答：A 选项是A 可相似对角化的充分不必要条件，故该选项入选. B 选项是A 可相似对角化的充分必要条件，故不入选. C 选项三个向量不一定线性无关，故充分性不满足，故不入选. D 选项不能保证A 有三个线性无关的特征向量，故不入选. 所以本题选A.
6.设B A ，均为n 阶矩阵，如果方程组0=Ax 和0=Bx 同解，则
（ C ）
A.方程组0=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y B E O A 只有零解. B.方程组0=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y AB O
A E
C.方程组0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O B A 与0=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛y A O A B 同解. D.方程组0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛y A O B AB 与0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛y B O A BA 同解. 解答：对于选项A ，由于n n A R B E R A R B E O A R 2)(),()(≤+=+≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛，
所以不能确定系数矩阵的秩是否为n 2，故解的情况无法判断，该选项错误. 对于选项B ，由于n A R n AB R A E R AB O A E R 2)()(),(≤+≤+≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛，显然系数矩阵的秩是否小于n 2不知道，故无法判断解的情况，该选项错误.
对于选项C ，结合线性方程组的Gauss 消元法和矩阵的初等变换可知： 0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛y B O B A 与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O O A 同解；0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O A B
与0=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y A O O B 同解. 由于方程组0=Ax 和0=Bx 同解，所以矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价，
因此，A 的行向量组与B 的行向量组能够相互线性表示. 所以0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛y B O O A 与0=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O O B 同解，因此0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O B A 与0=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y A O A B
同解. 故C 选项正确.
对于选项D ，结合线性方程组的Gauss 消元法和矩阵的初等变换可知：
0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y A O B AB 与0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛y A O O AB 同解；0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y B O A BA 与0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛y B O O BA 同解， 由于0=ABx 与0=BAx 不一定同解，因此D 选项错误.
故本题选C.
7.设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ
的取值范围是 （ C ） A.}1,0{ B.}2,|{−≠∈λλλR
C.}2,1|{−≠−≠∈λλλλ且R
D.}1|{−≠∈λλλ且R 解答：首先，考虑4α是否可由321,,ααα线性表示.
由011111
1≠λ
λλ可知，2−≠λ且1≠λ，此时4α必能由321,,ααα线性表示. 当2−=λ时，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛−−−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−=300063304211~42112121111
2),,,(4321r αααα，
显然，此时4α不能由321,,ααα线性表示.
当1=λ时，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111~111111111111),,,(4321r αααα，
显然，此时4α不能由321,,ααα线性表示，故2−≠λ. 其次，考虑3α是否可由421,,ααα线性表示。
由0)1(110011
11111
1
222
22≠−=−=λλλλλλλ
λ可得1≠λ且1−≠λ.
此时，3α可由421,,ααα线性表示.
当1−=λ时，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−=100001101111~111111111111),,,(3421r αααα，
显然3α不可由421,,ααα线性表示.
当1=λ是，容易验证，3α可由421,,ααα线性表示，故1−≠λ. 综上所述，2−≠λ且1−≠λ，故本题选C.
8.设随机变量)3,0(~U X ，随机变量Y 服从参数为2的泊松分布，且X 与Y 的协方差为
1−，=+−)12(Y X D （ C ）
A.1
B.5
C.9
D.12
解答：由已知条件可知：1),cov(,2,4
3
−===
Y X DY DX ，从而 ),2cov(24)12(Y X DY DX Y X D −+=+−
9)1(424
3
4),cov(44=−⨯−+⨯
=−+=Y X DY DX . 故本题答案选C.
9.设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且1X 的4阶矩存在.设)4,3,2,1)((1==k X E k k μ，
则由切比雪夫不等式，对0>∀ε，有≤⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥−∑=εμ2121n i i X n P （ A ）
A.22
24εμμn − B.2224εμμn − C.22
12εμμn − D.2
212εμμn −. 解答：n EX X E n X D n X n D n i i 2
242
21412112])()([1)(1)1(μμ−=−==∑=，
所以由切比雪夫不等式可知：2
2
2
42121εμμεμn X n P n i i −≤⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥−∑=，故本题选A.
10.设随机变量)1,0(~N X ，在x X =条件下，随机变量)1,(~x N Y ，则X 与Y 的相关系数为 （ D ） A.
41 B.2
1
C.33
D.22
解答：由已知条件可知：2
)(|2
21)(),()|(x y X X Y e x f y x f x y f −−
==
π
，2
221)(x X e x f −
=
π
，
所以)22(2
1|2221)()|(),(y xy x X X Y e
x f x y f y x f +−−=⋅=π
.
从而=
==
⎰
⎰
∞
+∞
−−−−∞
+∞
−+−−dx e
e
dx e
y f y x y y xy x Y 2
2
22)2
(4
)22(2
1
2121
)(π
π
4
221y e
−
π
.
所以022
2==
⎰
∞
+∞
−−
dx e x EX x π
，024
2
==⎰
∞
+∞
−−
dy e
y EY y π
，
⎰
⎰⎰
⎰∞
+∞
−∞
+∞
−−−
∞
+∞
−∞
+∞
−−−−
+=
=
du e
u x dx xe
dy xye
dx EXY u x x y x 2
2
2
)(2222
2)(2121π
π
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