矩形和长方形的关系
王鹏宇
( 西南大学数学与统计学院重庆 400715 )
人教版（2013）八年级数学下册§18.2正式提出矩形的概念，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形]2[。这似乎暗示矩形就是长方形。那么矩形和长方形是同一个概念吗？
学生对图形的认识始于小学阶段，人教版一年级数学上册§4认识物体和图形就涉及认识长方形和正方形，小学的教学目标仅限于能在一些图形中识别正方形和长方形，不要求掌握它们的元素特征及其关系。然而在初中阶段学习了矩形之后，很多学生认为矩形就是长方形，甚至多数大学生都认同此看法。我从西南大学数学与统计学院大一免费师范新生中随机抽取了一个班，选择他们休息的时间进行了一个简单的问题调查，内容包括两个问题，问题1：你认为长方形和矩形一样吗？问题2：你能说出它们之间的关系吗？问题1的收集数据方式采取在提问之后统计学生认为长方形和矩形一样的人数；问题2的收集数据方式采取在认为长方形和矩形一样的
学生里再随机抽取两名作出回答。统计调查结果， 53名大学生中有25名认为长方形和矩形是同一个概念。然而在25人中随机抽取的两名同学却认为矩形不是长方形，但矩形包括长方形。
数学是一门自然科学，它不仅有科学性、简洁性还有精确性，矩形和长方形是数学中两个重要的概念，它们必须有明确清晰的定义。对于初中生，长方形是已有的知识结构，矩形是新的知识结构，建构主义认为学生对知识的学习是不断建构的，新旧知识必然要形成统一的整体，而形成统一整体的根基则是新旧知识的联系与区别。因此矩形和长方形关系的精准性至关重要。
培根在《论读书》中提到“读史使人明智”，既然历史是一面镜子，能让我们看得更清，变得更明智，现在不妨通过图形的发展历史来看矩形和长方形的关系。
长方形和矩形到底是同一个概念吗？我们可以从《牛津数学研究词典》的作者Frank Tapson的《The Language of mathematics》中得到启示，文中阐述了四边形的发展关系，因此矩形和长方形的关系无可厚非。
图1. 四边形的发展关系]1[
从图中，我们能得到如下信息：
1．四边形是最基本的图形，从边的长度和位置关系分类，将四边形分成梯形和风筝（箭头），即有一组对边平行的四边形是梯形，有两组邻边相等的四边形是风筝状或箭头状。
2．不平行的两条边相等的梯形是等腰梯形。
3．两组对边平行的梯形是平行四边形。
4. 四条边都相等的风筝或箭头是菱形。
5. 有两条不同边长的平行四边形是长菱形，四条边都相等的平行四边形是菱形。
6. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一个角是直角的菱形是正方形，有一个角是直角的长菱形是长方形。
7. 有两条不同边长的矩形是长方形，四条边都相等的矩形是正方形。
四边形的发展关系图准确揭示了长方形和矩形的关系，因此，人教版八年级数学下册§19.2提出的矩形概念，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，也就是长方形是存在歧义的。长
方形不是矩形，但是矩形包括长方形，如图2。如果把矩形看做一个大集合，长方形只是这个大集合里的一个小子集。
图2.长方形和矩形关系图
结语：
只有了解事物的本源才能通透整个世界，追究长方形和矩形的发展来源才能清晰地把握二者之间的关系，才会形成对四边形系统的认识。在数学学习过程中，如果我们能常常挖掘知识产生的来源，我相信数学不再乏味，而且在挖掘知识与知识间的联系时往往可以培养连贯的逻辑思维能力，也有利于建构数学知识体系。
参考文献：
[1] Frank Tapson,The Language of Mathematics[J].
[2] 义务教育教科书数学八年级下册[M],北京：人民教育出版社，2013,11.
作者简介：
王鹏宇 （西南大学数学与统计学院 重庆北碚 400715 ***************** tel:183********）汉族，山西朔州 研究生 主要研究方向：数学教育 通讯地址：重庆市北碚区天生路2号西南大学梅园1舍309室
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