(人教版）小学数学1～6年级《数学广角》专题复习资料
小学数学教科书设置了“数学广角”教学内容版块，旨在系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法。在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径。
2022年教育部审定的人教版义务教育教科书（小学数学）的“数学广角”
与代数”的教学内容版块中也渗透了对应思想方法、等量代换思想方法和数字编码思想方法等等。下面，我们对相关的内容进行回顾与整理：
【考点聚焦】
对数学思想方法的考查，常见的有以下几类问题：
1.规律性问题：从给出的数或图形中，发现其内在的规律性，并加以总结，然后用其解决实际问题。
解题小窍门：解答这类问题时要经历“从特殊到一般，再从一般到特殊”的过程，即先从简单或特例入手，利用不完全归纳法总结出其内在的规律，然后再利用发现的规律解决问题。
2.排列问题：在实际生活中，常常要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。排列的过程不仅与参加排列事物的数量有关，而且与各事物的排列顺序有关。
解题小窍门：对n个不同的物品（或数字）排成一列，不同排法的总数为：(×-
)1
(×
-
-n
n。
n
n
)2
)3
2
×
1
×
3
×
......
×
(×
3.组合问题：在日常生活中，有很多有关分组（或搭配）的问题，如衣服搭配、足球比赛分组等，我们研究有多少种分组方法（或搭配方法），这就是组合问题。
解题小窍门：从n 个不同元素中，任取m 个元素组成一组，不同的方法总数为：
。
4.逻辑推理问题：逻辑推理问题是根据一些相互关联条件，依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理获取某种结论。解答这类问题的常用方法：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等
解题小窍门：要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，到正确答案。
5.重叠问题：在日常生活中，我们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，像这样含有重复出现数量的问题就是重叠问题。
解题小窍门：先不考虑重叠的情况，而是把各个数部分的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算了的数目去掉，使得计算结果既不重复又无遗漏。通常有下面两种情况：
①当两个计数部分重叠时，应从它们的数目和中减去重叠部分，得出总数量。
②当三个计数部分重叠时，应从数目和中减去两个计数部分重叠的部分，再加上三个计数部分都重叠的部分，得出总数量。
6.植树问题：植树问题是研究路长、株距和棵数之间的数量关系的应用题。有些应用题，如插彩旗、上楼梯、锯木头和装路灯等问题，虽然没有“植树”二字，但实际都是研究线段的长度、分点的个数及每段长度之间的关系，均可转化成植树问题。
解题小窍门：植树问题又分为不封闭路线植树问题与封闭路线植树问题。 在解答排列组合问题时，还经常会用到加法原理与乘法原理： ◆加法原理：完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同的
方法，第二类方法中有2m 种方法……第k 类方法中有k m 种方法，并且这k 类方法互不影响的，则完成这件事的方数为：1m +2m +……+k m 。这又称做“分类计数原理”。 ◆乘法原理：完成一件事有n 类方法，
做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种方法……做第n 类方法中有n m 种方法，则完成这件事的方数为：1m ×2m ×……×n m 。这又称做“分步计数原理”。
（1）不封闭路线植树问题分下面三种情况：
①在路线两端都植：棵数=路长÷株距+1；
②一端植，另一端不植：棵数=路长÷株距；
③两端都不植：棵数=路长÷株距－1。
（2）封闭路线植树：棵数=路长÷株距。
7.等量代换：用一种数量中的一份或若干份代替其他数量中的数值相等的一份或若干份，从而求出未知数的方法。
解题小窍门：我们通常要把题目中的等量关系或图中的相等关系转化为等式，并把这些等式按顺序编写，再互相代换。
8.鸡兔同笼问题：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只的问题，它还衍生出许多以不同情境为载体的趣题。
解题小窍门：一般应用假设法解题，也可以列方程解题。用假设法解题时，可以假定全部都是鸡或者都是兔，算出假定情况下的脚数和实际上的脚数的差数。如果脚的总数是A，头的总数是B，每只鸡的脚数是m，每只兔的脚数是n，则有
（A-m×B）÷（n－m）=兔数
（B×n-A）÷（n－m）=鸡数
9.统筹问题：我们要完成一件事，怎样安排，才能做到所用时间最少，或者所需费用最省或者路线最短，或者效果最好，像这类问题，我们称之为统筹规划问题。
解题小窍门：解答这类问题时，要仔细分析下面几方面的内容：
①要做哪几件事；
②每件事需要多长时间；
③清楚所做事情的顺序，即先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。
10.搏弈问题：指研究具有竞争或利益对抗活动战术的一类数学问题，即在对抗性游戏中，要想取胜，需要用数学的原理和方法正确选择获取策略。
解题小窍门：解答这类问题通常采用倒推法、对称法、配对法和归纳法。
11.“次品”问题：指在众多重量一样的物品中出质量所有不同的某一同类物品。
解题小窍门：解答“次品”问题时，一般把待测物分成a 、a 、b三份。b可能等于a，也可能等于a+1或者a-1，根据总数决定。先把两个a放在天平两端，如果天平平衡，次品就在b里头，如果天平不平衡，则根据次品和正品的差别出次品在哪一份；然后把哪一份继续往下分三份……直至出次品为止。
12.鸽笼定理问题：鸽笼定理又称抽屉原理，有两种形式：
抽屉原理1：将多于n件物体任意放到n个抽屉中，那么至少有1个抽屉中的物体不少于2件。
抽屉原理2：将多于m n
⨯件的物体任意放到n个抽屉中，那么至少有1个抽屉中的物体不少于1
m+件。
应用抽屉原理解决问题的思路和步骤：
①构物抽屉；
②把物体放入抽屉；
③说明理由，得出结论。
【例题精讲】
例1：学校乒乓球队从4名男队员、3名女队员中选拔2名选手参加混合双
打比赛，有种不同的选法；如果把这7名队员排成一列照相，有种不同的排法。
分析与解：（1）选拔2名选手参加混合双打比赛，这2名选手要求一男一女，我们不妨分2步选拔：
第1步：先从4名男队员中选拔一名男选手，有4种不同的选法；
第2步：然后从3名女队员中选拔一名女选手，有3种不同的选法；
根据乘法原理：4×3=12，即有12种不同的选法。
（2）7名队员排成一列照相，可以分7步排队：
第1步：由队员A挑选位置，有7个排位给A挑选，共有7种排法；
第2步：由队员B挑选位置，A挑选位置后，还有6个排位给B挑选，共有6种排法；
第3步：由队员C挑选位置，A、B挑选位置后，还有5个排位给C挑选，共有5种排法；
第4步：由队员D挑选位置，A、B、C挑选位置后，还有4个排位给D挑选，共有4种排法；
第5步：由队员E挑选位置，A、B、C、D挑选位置后，还有3个排位给E 挑选，共有3种排法；
第6步：由队员F挑选位置，A、B、C、D、E挑选位置后，还有2个排位给F挑选，共有2种排法；
第7步：由队员G挑选位置，A、B、C、D、E、F挑选位置后，只剩下1个排位给G挑选，共有1种排法。
根据乘法原理：7×6×5×4×3×2×1=5040，即有5040种不同的排法。
也可以直接用“全排列公式”： 7×6×5×4×3×2×1=5040。因此，有5040种不同的排法。
例2：鸡和兔关在同一个笼子里，从上方数有8个头，从下方数有26只脚。鸡有只，兔有只。
分析与解：解答鸡兔同笼问题有多种不同的解法：列表法，假设法和列方程解答。
鸡有3只，兔有5只。
解法2：假设笼里全部是鸡，每只鸡有2只脚。8只鸡的脚的总数是8×2=16（只）。但是，现在笼里却有26只脚，多出了26-16=10（只）。所以，笼里不是只有鸡，还有兔。因为笼里每只兔都比每只鸡多出2只脚，所以笼里兔的数目是10÷2=5（只）。
8×2=16（只）
26-16=10（只）
10÷2=5（只）
8-5=3（只）
所以，求得笼里有兔5只，鸡3只。
解法3：假设笼里全部是兔，每只兔有4只脚。8只兔的脚的总数是8×4=32（只）。但是，现在笼里仅有26只脚，少了32-26=6（只）。所以，笼里不是只有鸡，还有兔。因为笼里每只鸡都比每只兔少了2只脚，所以笼里鸡的数目是6÷2=3（只）。
8×4=32（只）
32-26=6（只）
6÷2=3（只）
8-3=5（只）
所以，求得笼里鸡有5只，兔有3只。
解法4：假设笼里有x只兔，则鸡有（8-x）只。所以
4x+2（8-x）=26
4x+16-2x =26
2x+16 =26
2x+16-16=26-16
2x=10
x=5
8-x=8-5=3
例3：一根圆柱形木料，底面直径是20厘米，长是1.8厘米。把它截成3段，使每一段的形状都是圆柱。截开后，表面积增加了多少平方厘米？像这样截成4段、5段呢？
分析与解：这是一道与圆柱表面积积有关的题目，但是它也涉及到植树问题的内容。解题时，我们不妨先出其内在的规律性，再利用规律巧解题。
根据“植树问题”的相关性质可知：把一根圆柱形木料截成n，需要锯()1
n-次。又据据实际情况，每锯断1次圆柱形木料都会增加2个底面，从而可推算出：当圆柱形木料被截成n段时，所增加的表面积与段数、底面之间会存在以下关系“所增加的面积=()1
n-×底面积×2”。
我们不妨先求出圆柱形木料的底面积，再把相关数据代入上面的公式求解即可。
圆柱形木料的底面积：3.14×（20÷2）2=314（平方厘米）；
木料分成3段时，所增加的表面积：()
-×314×2=1256（平方厘米）；
31
木料分成4段时，所增加的表面积：()
-×314×2=1884（平方厘米）；
41
木料分成5段时，所增加的表面积：()
-×314×2=2512（平方厘米）。
六年级下册数学复习资料
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例4：有红、黄、绿、白的小球若干个，混合放在一个布袋里，一次摸出13个，至少有（）个小球的颜是相同的。
分析与解：这问题需要我们正确构造“抽屉”进行巧解。我们不妨制造出4个“抽屉“，这4个“抽屉”分别用来放红球、黄球、绿球和白球，把摸出的13个球看成是13个“物体”。这时，相当于把13个“物体”放进4个“抽屉”里，按最不利的情况去考虑，放完12个小球后，红、黄、绿、白的4个“抽屉”