新北实验中学 严云霞
【基本模型】
三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系
模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；
模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；
模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；
模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；
模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）;
180°- | (Z ABC+ 2 | Z ACB |
180°- | 1 --(180°- | Z A) |
2 | ||
180°- | 1 x180°+ | -Z A |
2 | 2 | |
90° + | -Z A | |
2
（方法二）解：连接AD并延长交BC于点E 解：••• BD CD为角平分线
1 1
•••Z CBD= — Z ABC, Z BCD= — Z ACB
2 2
vZ BDE是△ ABD的外角
• Z BDE=Z BAD+Z ABD
1
=Z BADh Z ABC
2
1
同理可得/ CDE^Z CAD+1 / ACB
2
又•••/ BDOZ BDE亡 CDE
1 1
•••/ BDOZ BAD+丄 / ABC+/ CAD+丄 / ACB
2 2
1
=/ BA迭(/ ABC+ZACB
1 =Z BACi (180°—/ BAC
2
1 =90°+—/ BAC
2
例2、如图，ED、CD为AABC的两条外角平分线，
1
试说明：/ D=90°— - / Ao
2
解：••• BD CD为角平分线
1
•••/ CBD— / CBE
2
1 / BCD= — / BCF
2
又•••/ CBE / BCDABC的外角
•••/ CBE=Z A+Z ACB
/ BC1 A+Z ABC
•••/ CBE^Z Bd A+Z ACB+Z A+Z ABO/
+ 180°
在厶BCD中:
/ D= 180° — (/ CBM/BCD
1 1
-/CBE^ - / BCF
2 2
-(
(/ CBE^Z BCFZ A+ 180°)
2
—
1 Z A
2
【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分 线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为 180。。
例3:如图，在△ ABC中，BD为/ ABC的平分线，CD为ZACE的平分线,
1
试说明：/ D= — Z A;
2
解：••• BD为角平分线，
1
•••Z CBD= — Z ABC,
2
又••• CD为/ ACE的平分线
E
1• Z DCEa Z ACE
2
三角形的内角而/ DCE%A BCD的一个外角
•••/ DCE=/ D+Z DBC, 即/ D=Z DCE-Z DBC
1 1
.••Z D=丄 Z ACE-丄 Z ABC
2 2
1
=-(Z ACE-Z ABO
2
=1 Z Ao
2
【巧借模型解决问题】
一、 运用模型直接求值
例4、如图，在△ ABC中，ZA =40°, D点是Z ABC和Z ACB角平 分线的交点，则Z BDC= °
1的模型：三角形两条内角
+ 1 Z A
2
+20° =110°
【思路分析】由条件知，这是图 平分线的夹角，.Z BDC = 90当 ZA =40° 时，Z BDC=90
1
反之，如果已知Z BDC的度数，则把度数代入公式：Z BDC = 90°+ - Z A，
2
可以解出Z A的度数。
二、运用模型揭秘画图题
例5、小明用下面的方法画出了 45°角：作两条互相垂直的直线 MN、PQ,点A、 B分别是MN、PQ上任意一点，作Z ABP的平分线BD, BD的反向延长线交Z OAB 的平分线于点C,则Z C就是所求的45°角•你认为对吗？请给出证明.
【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现 AC BD分别是△ AOB的内 角平分线和外角平分线的夹角。根据图 3的结论：这个夹角等于第三个角一半，
1
可知Z C=— Z AOB。
2
解：先模仿图3证明Z。=丄Z AOB
2
又 vZ AOB=90
1
•••Z c=— Z AOB=45
2
三、运用模型探究规律，提升拓展 例6问题引入：
(1) 如图①，在△ ABC中，点O是Z ABC和Z ACB平分 线的交点，若Z A=a ,则Z BOC= (用a表示)；
拓展研究：
(2)如图②，Z (用a表示) 归纳猜想： | 1 1 CBO=1 Z ABC, Z BCO=丄 Z ACB Z A=a，试求Z BOC的度数 3 3 |
(3)若BO、CO分别是△ ABC的/ABC / ACB的n等分线，它们交于点 O,/
1 1
CBOd / ABC, / BCOd / ACB / A= a，贝U/ BOC=
n n
(用a表示).
类比探索：
（4）特例思考： | 1 1 如图③，/ CBO= 3 / DBC, / bco=3 / ECB / A=a，求Z |
BOC的度数（用a表示）.
一般猜想：若BO、CO分别是△ ABC的外角/ DBC / ECB的 n等分线，它们 1 1
交于点 O,/ CBO= / DBC, / BCO— / ECB / A= a ,请猜想/ BOC= n n
（用a表示）.
图③
【思路分析】1 1
(1) 此为图 1 的模型，/ O= 90° +— / BAC= 90 + —
2 2
1
(2) 把角平分线换成1，但证明的思路大致相似。
3
在OC中：/ BOO 180°-( / OBC^Z OCB
1
=180°— — (/ ABC+Z ACB
3
1
=180°— — (180°—/ A)
3
1 1
=180°— — X 180°+ — / A
3 3
1
=120°+ — / A
3
1
=120°+ - a
3
1
(3) 把角平分线换成1，证明的思路类似。
n
在中：/ BOO 180° — (/ OBC+Z OCB
1
=180°—丄(/ ABC+Z ACB n
1
=180° — — (180°—/ A)
n
1 1
=180°— - X 180°+ 丄 / A
n n
1
(4) 此为图2的模型中，把角平分线换成1，证明如下:
3
vZ CBD / BCEABC的外角
•••/ CBD=Z A+Z ACB, Z BCE=Z A+Z ABC
—
1 Z A
n
1
—_ a
n
X 180 n
•••Z CBD+Z BCE=Z A+Z ACB+Z A+Z ABOZ A+ 180
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