11.2 与三角形有关的角
1．关于三角形内角的叙述错误的是
A．三角形三个内角的和是180° B．三角形两个内角的和一定大于60°
C．三角形中至少有一个角不小于60° D．一个三角形中最大的角所对的边最长
2．下列叙述正确的是
A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角
C．三角形中至少有两个锐角
D．三角形中至少有一个锐角
3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是
A．150° B．135° C．120° D．100°
4．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．在不等边三角形中，最小的角可以是
A．80° B．65° C．60° D．59°
6．等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是__________．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．
9．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是___________．
10．求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数．
11．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别是、，检验工人量得，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是
A．3 B．4 C．6 D．5
13．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于
A．25° B．30° C．35° D．40°
14．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=
___________．
16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．
17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．
18．如图，∠BCD为△ABC的外角，已知∠A=70°，∠B=35°，则∠BCD=___________．
19．如图，AD是△ABC边上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．
20．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．
（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；
（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．
22．如图，在中，是边上的高，是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．
23．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=
A．75° B．80° C．85° D．90°
24．（2018•宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是
A．24° B．59° C．60° D．69°
25．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是
A．45° B．60° C．75° D．85°
26．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=__________．
27．（2018•淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
28．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
1．【答案】B
【解析】A正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B错误，故选B．
4．【答案】A
【解析】因为三角形内角和为180°，根据题意可得：∠B=∠C=80°，所以△ABC是锐角三角形．故选A．
5．【答案】D
【解析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．
6．【答案】80°，50°，50°
【解析】如图所示，AB=AC，∠1=∠2+30°．
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠1、∠2分别是△ABC的外角，∴∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠ACB，
∵∠1=∠2+30°，∴∠1–∠2=∠B+∠BAC–∠B–∠ACB=∠BAC–∠ACB=30°①，∵∠B=∠ACB，∴∠B+
∠ACB+∠A=180°，∴2∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°–2∠ACB，代入①得，180°–2∠ACB–∠ACB=
30°，解得，∠ACB=50°，∴∠B=50°，∠BAC=180°–∠B–∠ACB=180°–50°–50°=80°，∴这个三角形各个内角的度数分别是80°，50°，50°．故答案为：80°，50°，50°．
7．【答案】70°或20°
【解析】如图①，∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°–40°）
÷2=70°；如图②：∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°，
∴∠ABC=∠C=（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°．
9．【答案】40°
【解析】因为三角形内角和为180°，一个直角为90°，一个锐角为50°，所以另一个锐角的度
数为180°–90°–50°=40°．故答案为：40°．
10．【解析】如图，△ACB为直角三角形，为直角，
AD，BE分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于点F，
∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵AD，BE分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，
∴∠FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45°，
∴∠DFB=∠FAB+∠FBA=45°，即直角三角形两锐角平分线所夹的锐角为45°．
11．【解析】如图，延长交于点．
因为是的一个外角，∴．
因为是的一个外角，所以．
所以．
所以可以判定这个零件不合格．
12．【答案】A
【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得×4×2+×AC×2=7．解得AC=3．故选A．
13．【答案】D
【解析】∵在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=180°–100°–20°=60°，∵△CDB′由△CDB翻折而成，∴∠CB′D=∠B=60°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D–∠A=60°–20°=40°．故选D．
15．【答案】120°
【解析】∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°–42°–60°=78°．
又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，∴∠FBC=∠ABC=21°，∠FCB=∠ACB=39°．
又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∴∠三角形的内角BFC=180°–21°–39°=120°．故答案为：120°．
18．【答案】105°
【解析】∠BCD=∠A+∠B=70°+35°=105°．故答案为：105°．
19．【解析】∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，
又∵，∠BED=70°，
∴．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．
20．【解析】∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°–40°–76°=64°，
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，
∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．
21．【解析】（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．
（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，
∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．
22．【解析】∵是边上的高，∴．
又∵，，∴，
即是直角三角形．
23．【答案】A
【解析】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．
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