01莫比乌斯的发现
长方形有几个面？
一张四边形纸条有几条边，几个面？容易知道，有4条边，2个面。
那么，能否将它变成2条边，2个面呢？这个也容易做到，只要将它卷成一个圆柱形，即可。
怎么判断是两个面？只要用一种颜的绘笔，在纸圈上的一面涂抹，涂完一个面后，提笔才能重新涂另一个面。边也一样。
四边形纸条卷成圆柱形
那么再问：能否将它变成1条边，1个面呢？也就是说，能否用一种颜，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成这种颜而不留下任何空白？
莫比乌斯的发现
德国数学家，天文学家莫比乌斯（August Mobius， 1790～1868）困惑一道数学几何学难题：麦比乌斯圈怎样在长方形的纸条上，用一种颜，把整个纸条正反面抹成一种颜。
他头昏脑涨之余，到野外散步，一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了他脑中绿的纸条。叶子弯曲耸拉下来，有许多扭成半圆形。
他随便撕下一片，顺着叶子自然扭曲的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这‘绿的圆圈儿’就是他梦寐以求的那种圈。莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。
结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯圈就这样被发现了，并以他的名字命名。同时独立发现这个怪圈的还有数学家约翰·李斯丁。
这莫比乌斯圈有一个最令人著迷的性质：它只有一条边和一个面。
莫比乌斯于1809 年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文，尤其涉及天文和数学两大领域。担任过“数学王子”高斯（Gauss ，1777～1855）的助教，后在高斯的推荐下成为特级教授和莱比锡天文台的观测员，并于1848年成为莱比锡天文台台长。
莫比乌斯在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为这个用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯环。
莫比乌斯也因此成了拓扑学研究的先驱者。
02奇特的莫比乌斯环
如莫比乌斯所做的，只要将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端CD扭转180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一条莫比乌斯环。
拿起手中的纸条亲自做一个“莫比乌斯圈”吧！
同学们和各位家长们，请你仔细观察上面的动态演示图，不难发现这个莫比乌斯环：虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面，即这种曲面是只有一个面的 “单侧曲面”。
“勤奋的小蚂蚁”
公正的蚂蚁无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面
你能走到头吗？
若是在这样的二维世界里行走，你不用绕过边界就可以走遍整个世界。若是用一支笔沿着边界涂，不用提笔就可以涂遍整个边界，就是说它也是一个只有一条边界的曲面。
这个怪圈因为具有一些奇异的性质而成为数学珍品之一。
03
探寻它的神秘
（一）若是在莫比乌斯环的中间画上一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环中间剪开，和一般的纸带（会分成断开的两条环）不一样，而会形成一个比原来的莫比乌斯环周长大一倍、把纸带的端头扭转了四次再粘合一起的环。
（二）若是在莫比乌斯环的三等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环三等分处剪开，剪刀绕两个圈竟又回到原出发点，这时会形成两条带子，其中一条和原来的周长一样长，另一条则比原来的莫比乌斯环周长大一倍，而且两条是套在一起的。
（三）若是在莫比乌斯环的四等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环四等分处剪开，这时会形成两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，而且两条是套在一起的。
（四）若是在莫比乌斯环的五等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢呢？
此环节的活动请你一起来参与，主动去发现吧！
实验结果：如果沿着莫比乌斯环五等分处剪开，这时会形成三条带子，两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，另一条则和原来的周长一样长，而且三条是套在一起的。