莫比乌斯带：只有一面的魔环
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。   小时候手工课，经常有要把纸裁成带然后再粘成环的活要干。这个任务即使对小朋友来说也是很简单的。但有时总会有些马大哈会犯糊涂，在把纸带两端粘成环之前不小心翻了个面，纸环就变得歪歪斜斜的了。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 这也不是什么大事，撕了重粘就好了。但是，既然纸环已经变成这样了，何妨把玩一番呢？要知道，这就是鼎鼎有名的莫比乌斯带。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 很多读者应该都知道莫比乌斯带的特别之处：它只有一个面，也只有一条边。在数学上，这样的曲面有一个特别的名字：单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢？很简单，我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线（不跨越边沿），在笔回到起点的时候，我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图：
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗? 这就可以很好说明莫比乌斯带只有一个面了。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 如果我们在普通的纸环上面做同样的操作的话，当笔回到起点时容易知道还有一面没有涂过，所以普通纸环不是单侧曲面，实际上每个人都知道它有两个侧面。
如果我们沿着这条红线把环剪开，会得到什么呢？
相信很多朋友都知道了，我也就不卖关子了：这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环：
但是，可能没有多少人留意到，经过一番摆弄，这个纸环可以变成一个两层的“莫比乌斯带”。之所以要加引号，是因为这个毕竟也是双侧曲面，而不像真正的莫比乌斯带那样是单侧曲面。
要做到同样的效果，我们也可以用两层纸带用类似做莫比乌斯带的方法来粘贴，只不过两层纸要分别粘贴而已。
好了，回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次，会发生什么事情呢？现在这个纸环已经是不是单侧曲面了，所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是，那会是怎么样的两个环呢？
好了，结果出来了，是两个和刚才一样的纸环，不过这两个纸环是套在一起的。
如果我们摆弄一下，能把它们弄成刚才没有开剪之前的大纸环的一个双层版本。
再摆弄一下，又能把它们弄成一个四层的“莫比乌斯带”。
可以证明，如果我们这样不停的剪下去，每次剪出来的都是一样的纸环（中间有两圈旋转的），而且都套在一起，还能弄成一个多层的“莫比乌斯带”。一个不大严谨的证明应该是不复杂的。（提示：将每次剪出来的都套成多层“莫比乌斯带”，然后剪开就成了多层的两个半圈旋转大纸环，又能套成多层的“莫比乌斯带”）
那么，这东西有什么用呢？
首先，这东西既然是数学家做出来的，肯定是有理论上的意义的。事实上，这是数学家发现的第一个单侧曲面。
在积分理论发展的过程中，由于曲面通常有两侧，所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是，当时还没有人知道是否存在这样的曲面，它只有一侧从而无法在它上面确定一个积分的方向。
而莫比乌斯带正是这样的一个单侧曲面，它只有一个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有一个名字叫“不可定向曲面”。
由于莫比乌斯带只有一个面，这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上，这样的话就可以把磨损分摊到更多的地方，从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。
利用莫比乌斯带的想法获得的专利还不止这一个。还记得那个两层“莫比乌斯带”吗？不记得也没有关系，看下图：
如果我们把纸带想像成金属带，让电流由其中一个夹子流入而从另一个夹子流出的话，在纸带表面的电流有两个可能的流动方向，而这两个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说，电流在这个装置流动的时候不会产生磁场，所以也不会有电池感应的现象发生。这就是一个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。
“麦比乌斯圈教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
莫比乌斯带在艺术和文化作品中也经常被引用，作为“无限循环”的一个象征。国际通用的循环再造标志就是一个绿的、摆放成三角形的莫比乌斯带。在《哆啦A梦》（小叮当）漫画中，就有一个形状是莫比乌斯带的道具，只要把它放在门把手上，里边的人开门就会回到同一个房间里去。如果我们看科学馆门前的环状雕塑，多半也利用了类似莫比乌斯带的性质，
有空的话经过这些雕塑可以数一下这些环有多少个面多少条边沿，我估计绝大部分结果都是1。而至于埃舍尔的例子就更是众人皆知，也不用我饶舌了。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
实验室中也有可能产生莫比乌斯带形状的粒子。前不久，一科学家在JournalofChemicalPhysics上发表了一篇论文，其中预言了一种莫比乌斯带形状的碳单质（准确来说应该是石墨烯）。它能抵抗摄氏200度左右的温度，算是相当稳定。由于它莫比乌斯带的结构，它应该是一个偶极子，从而可以形成稳定的晶体。现在就等科学家们把它实际做出来了。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
这一切，都是由数学家看到一个粘错的纸环开始的。（