2021年全国硕士研究生招生考试
数学（三）真题及答案
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
（1）当 x→0 时，∫(e t3−1)dt
x2
是 x7的（）
（A）低阶无穷小（B）等阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等阶无穷小【答案】C.
【解析】因为当 x→0 时，
lim x→0∫(e t3−1)dt
x2
x
=lim
x→0
(e x6−1)⋅2x
7x
=lim
x→0
2x7
7x
=0
所以，∫(e t3−1)dt
x2
是 x7的高阶无穷小.
【思路】在无穷小比较中，若涉及到定积分，常用求导的方式先将积分符号化掉. 有时也可用积分中值定理将积分符号化掉.
∫(e t3−1)dt
x2
=(eθ6−1)⋅x2，其中 θ 位于 0,x 之间.
则当 x→0 时，θ→x→0，则有
∫(e t3−1)dt
x2
∼(e x6−1)⋅x2∼x8
（2）函数 f(x)={e x−1
x
,x≠0
1,x=0
，在 x=0 处（）
（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值（C）可导且导数等于零（D）可导且导数不为零【答案】D.
【解析】先考虑连续性. 当 x→0 时，
lim x→0e x−1
x
=lim
x→0
x
x
=1=f(0)
所以， f(x)在 x=0 处连续.
然后考虑可导性. 当 x→0 时，
lim x→0f(x)−f(0)
x−0
=lim
x→0
e x−1
x−1
x
=lim
x→0
e x−1−x
x2
=lim
x→0
e x−1
2x
=
1
2
所以，f(x)在 x=0 处可导且导数不为零.
【思路】判断一元函数在某个点处连续、可导、取极值情况时，应依次判断连续性、可导性、极值情况。本题中，当一阶导数不为0时，根据极值的必要条件可知，函数 f (x ) 在 x =0 处不取极值.
考研时间2021考试时间（3）函数 f (x )=ax −b ln x ,(a >0) 有2个零点，则 b
a  的取值范围（      ）
（A ）(e,+∞) （B ）(0,e)
（C ）(0,1
e )
（D ）(1
e ,+∞)
【答案】A.
【解析】考虑 f (x ) 在定义域 x >0 上的单调性.
f ′(x )=a −b
x
f ′(x ) 的零点是 x =b
a
.
若 b ≤0，则 f(x)  在定义域内是单调递增函数，此时 f (x ) 在定义域内最多只有1个零点，因此 b >0.
显然 f (x ) 在(0,b a ) 上单调递增，在 (b
a ,+∞) 上单调递减.
f (0+)=lim x→0
+f (x )=lim x→0
+(ax −b ln x )=+∞,
f (+∞)=lim x→+∞
f(x)=lim x→+∞
(ax −b ln x)=lim x→+∞
x (a −
b ln x
x
)=lim x→+∞ax =+∞
因为 f (0+)、f (+∞) 均大于0，要保证有两个零点，f (b a
) 必小于0.则有 f (b a )=b −b ln b a =b (1−ln b
a
)<0 所以，b
a
>e.
【思路】结合函数的单调性来讨论函数的零点情况.
（4）设函数 f (x,y ) 可微，f (x +1,e x )=x (x +1)2，f (x,x 2)=2x 2ln x ，则 df (1,1)=（      ） （A ）dx +dy  （B ）dx −dy  （C ）dy  （D ）−dy
【答案】C.
【解析】 f (x +1,e x ) 和 f (x,x 2) 分别对 x 求导.
df (x +1,e x )
dx =f 1′+f 2′⋅e x =(x +1)2+2(x +1)x =(x +1)(3x +1)    ①
df (x,x 2)
dx
=f 1′+f 2′⋅2x =4x ln x +2x                                                                  ②
考虑到 df (1,1)=f 1′(1,1)dx +f 2′(1,1)dy ，故 ① 式中的 x 取0，② 式中的 x 取1，则
有
f 1′(1,1)+f 2′(1,1)=1 f 1′(1,1)+2f 2′(1,1)=2
解得，f 1′(1,1)=0,f 2′(1,1)=1. 所以 df (1,1)=dy.
【思路】从全微分公式 dy =f x ′(x,y )dx +f y ′(x,y )dy 入手，只需求出 f x ′(1,1) 和 f y ′(1,1) 即可.
（5）二次型 f (x 1,x 2,x 3)=(x 1+x 2)2+(x 2+x 3)2−(x 3−x 1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（      ） （A ）2,0 （B ）1,1 （C ）2,1 （D ）1,2
【答案】B.
【解析】f (x 1,x 2,x 3)=(x 1+x 2)2+(x 2+x 3)2−(x 3−x 1)2=2(x 22
+x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)
=2[(x 2+x 12+x 32)2−(x 12−x 32
)2
]
令
{y 1=x 12+x 2+
x 32y 2=x 12−
x 3
2
则原二次型化为 f (x 1,x 2,x 3)=2y 12−2y 22
. 所以，正、负惯性指数分别为1,1.
【思路】容易看出配方法的优势了. 正负惯性指数指只和特征值的正负性有关，与特征值数值大小无关. 因此，计算特征值不仅困难，也没有必要.
（6）设 A =(α1,α2,α3,α4) 为4阶正交矩阵，若矩阵B =[α1T
α2T α3
T ]，β=[111]，k 表示任意常
数，则线性方程组 Bx =β 的通解 x =（      ） （A ）α2+α3+α4+kα1 （B ）α1+α3+α4+kα2 （C ）α1+α2+α4+kα3 （D ）α1+α2+α3+kα4
【答案】D.
【解析】因为 A 是正交矩阵，因此 AA T =E ，且 α1,α2,α3,α4 之间相互正交. 则有
r (B )=3
α1T α1=1,α2T α2=1,α3T
α3=1 α1T α4=0,α2T α4=0,α3T α4=0
因此 Bx =β，的一个特解为 α1+α2+α3，对应的齐次方程 Bx =0 的通解为 kα4.  所以，非齐次线性方程组 BX =β 的通解为 α1+α2+α3+kα4.
【思路】本题突破口在矩阵 A 为正交矩阵，根据正交矩阵的性质推线性方程组 Bx =β 的特解和对应齐次方程的通解.
（7）已知矩阵 A =[10−1
2−11−12−5]，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q ，使得
PAQ 为对角矩阵，则 P ，Q 可分别取（      ） （A ）[100010001],[101
013001]
（B ）[1002−10−321],[100
010001]
（C ）[1002−10−321],[101
013001]
（D ）[100010131],[12−3
0−12001
]
【答案】C.
【解析】此题首先可优先排除 A 、B 选项. 利用矩阵乘法可判断出C 选项正确. 【思路】在矩阵乘法中，对于形式简单的矩阵，可通过“左乘右列”进行快速计算. 如：
右乘：A [101
013001
]
相当于对矩阵 A 连续进行两次初等列变换：① 第一列加到第三列：c 1+c 3→c 3； ② 第二列乘以3加到第三列：3c 2+c 3→c 3.
左乘：[101
013001
]A
相当于对矩阵 A 连续进行两次初等行变换：① 第三行加到第一行：r 3+r 1→r 1； ② 第三行乘以3加到第二行：3r 3+r 2→r 2.
（8）设 A ，B 为随机变量，且 0<P (B )<1，下列命题中不成立的是（      ） （A ）若 P (A |B )=P (A )，则 P(A|B)=P (A ) （B ）若 P (A |B )>P (A )，则 P(A  |B)>P(A) （C ）若 P (A |B )>P(A|B)，则 P (A |B )>P (A ). （D ）若 P (A |A ∪B )>P(A|A ∪B)，则 P (A )>P (B ). 【答案】D.
【解析】A 选项成立，若 P (A |B )=P (A )，说明 A ，B 相互独立，则 P(A|B)=P (A ).
B选项成立，若P(A|B)>P(A)，说明 P(AB)>P(A)P(B)，则
P(A B)−P(A)P(B)=1−P(A)−P(B)+P(AB)−(1−P(A))(1−P(B))
=P(AB)−P(A)P(B)>0
所以 P(A B)>P(A)P(B)，即P(A|B)>P(A).
C选项成立，若 P(A|B)>P(A|B)，则有 P(AB)[1−P(B)]>[P(A)−P(AB)]P(B)，化简后有 P(AB)>P(A)P(B)，所以 P(A|B)>P(A).
D选项不成立，若 P(A|A∪B)>P(A|A∪B)，说明 P(A)>P(AB)=P(B)−P(AB)，显然无法推出 P(A)>P(B).
【点拨】作为选择题，有时可借助文氏图辅助排除答案.
（9）设(X1,Y1),(X2,Y2),⋯,(X n,Y n)为来自总体 N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)的简单随机样本，令
θ=μ1−μ2,  X=1
n
∑X i
n
i=1
,  Y=
1
n
∑Y i
n
i=1
,  θ̂=X−Y,  则（）
（A）θ̂是 θ 的无偏估计，D(θ̂)=σ12+σ22
n
.
（B）θ̂不是 θ 的无偏估计，D(θ̂)=σ12+σ22
n
.
（C）θ̂是 θ 的无偏估计，D(θ̂)=σ12+σ22−2ρσ1σ2
n
.
（D）θ̂不是 θ 的无偏估计，D(θ̂)=σ12+σ22−2ρσ1σ2
n
.
【答案】C.
【解析】E(θ̂ )=E(X−Y)=E(X)−E(Y)=μ1−μ2=E(θ)，所以 θ̂是 θ 的无偏估计.
D(θ̂ )=D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X ,Y)=σ12
n
+
σ22
n
−
2ρσ1σ2
n
=
σ12+σ22−2ρσ1σ2
n
.
【点拨】因为(X1,Y1),(X2,Y2),⋯,(X n,Y n)为来自总体 N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)的简单随机样本，所以有 Cov(X i,Y j)=0（其中 i≠j）.
（10）设总体 X 的概率分布为 P{X=1}=1−θ
2
,P{X=2}=P{X=3}=
1+θ
4
，利用
来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得 θ 的最大似然估计值为（）
（A）1
4
（B）
3
8
（C）
1
2
（D）
5
2
【答案】A.
【解析】构造似然函数