2021研究生入学考试考研数学试卷(数学一)
一、选择题(1-10小题,每题5分,共计50分) 1.函数1
,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
,在0x =处( )
(A )连续且取得极大值 (B )连续且取得极小值 (C )可导且导数等于零 (D )可导且导数不为零
2.设函数(,)f x y 可微,且222(1,)(1),(,)2ln x f x e x x f x x x x +=+=,则(1,1)df =( ) (A )dx dy + (B )dx dy - (C )dy (D )dy -
3.设函数2
sin ()1x
f x x
=
+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++,则( ) (A )71,0,6a b c ===- (B )7
1,0,6a b c ===
(C )71,1,6a b c =-=-=- (D )7
1,1,6
a b c =-=-=
4.设函数()f x 在区间[0,1]上连续,则1
0()f x dx =⎰( )
(A )1211lim 22n
n k k f n n →∞=-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ (B )1
211
lim 2n
n k k f n n →∞=-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ (C )2111lim 2n n k k f n n →∞=-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ (D )21
2
lim 2n
n k k f n n →∞
=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ 5. 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正负惯性指数依次为( ) (A )2,0 (B )1,1 (C )2,1 (D )1,2
6.已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--,若1β,
2β,3β两两正交,则12,l l 依次为( )
(A )51,22 (B )51
,22-
(C )51,22- (D )51,22
--
7.设A 、B 为n 阶实矩阵,下列不成立的是( )
(A )T 2()A
O r r A O
A A ⎛⎫=
⎪⎝⎭ (B )T 2()A
AB r r A O
A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(C )T 2()A
BA r r A O AA ⎛⎫=
⎪⎝⎭ (D )T 2()A
O r r A BA A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
8.设A 、B 为随机事件,且0()1P B << ,下列为假命题的是( ) (A )若()()P A B P A =,则()()P A B P A = (B )若()()P A B P A >,则()()P A B P A > (C )若()()P A B P A B >,则()()P A B P A > (D )若()()P A A B P A A B ⋃>⋃,则()()P A P B > 9.设1122(,),(,),
,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体22
1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本,令
12θμμ=-,11
11,n n
i i i i X X Y Y n n ====∑∑,ˆX Y θ
=-,则( ) (A )则ˆθ是θ的无偏估计,且22
12
ˆ()D n σσθ+=
(B )则ˆθ不是θ的无偏估计,且22
12
ˆ()D n σσθ+=
(C )则ˆθ是θ的无偏估计,且22
1212
2ˆ()D n σσρσσθ+-=
(D )则ˆθ不是θ的无偏估计,且22
1212
考研时间2021考试时间
2ˆ()D n
σσρσσθ+-=
10.设1216,,,X X X 是来自总体(,4)N μ的简单随机样本,考虑假设检验问题:
01:10,:10H H μμ≤>,()x Φ表示标准正态分布函数,若该检验问题的拒绝域为{11}W X =≥,其中16
1
116i i X X ==∑,则11.5μ=时,该检验犯第二类错误的概率为( )
(A )1(0.5)-Φ (B )1(1)-Φ (C )1(1.5)-Φ (D )1(2)-Φ 二、填空题(11-16小题,每小题5分,共计30分) 11.20
______22
dx
x x +∞=++⎰
12.设函数()y y x =由参数方程2
21
4(1)t
t x e t y t e t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定,则22
_____t d y dx == 13.欧拉方程240x y xy y '''+-=满足条件:(1)1y =,(1)2y '=的解为_____y =
14.设∑为空间区域22{(,,)|44,02}x y z x y z +≤≤≤表面的外侧,则曲面积分
22
____x dydz y dzdx zdxdy ∑
++=⎰⎰
15.设方阵33A ⨯,ij A 为元素ij a 的代数余子式,A 的各行元素之和为2,且行列式3A =,试
求112131______A A A ++=
16.甲、乙两袋中各有2个红球和2个白球,现从甲袋中任取1球,观察颜后放入乙袋,再从乙袋中取出一球,记甲袋取出的红球个数为X ,乙袋取出的红球个数为Y ,则,X Y 的相关系数为_______
三、解答题(共计70分)
17.(本题满分10分)试求极限:20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫
+ ⎪- ⎪- ⎪
⎝⎭
⎰ 18.(本题满分12分)设1()(1,2,)(1)n nx
x u x e n n n +-=+=+,求级数1
()n u x ∞
=∑的收敛域及和函数
19.(本题满分12分)已知曲线2226
:4230x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩
,求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大
值
20(本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域,22()4D
I D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值
的积分区域记为1D (1)求1()I D 的值 (2)计算
2
2
2
2
1
4422
()(4)4x
y x
y D xe y dx ye x dy
x y ++∂++-+⎰
,其中1D ∂为1D 的正向边界
21(本题满分12分)已知111111a A a a -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
(1)求正交矩阵P ,使得T P AP 为对角矩阵; (2)求正定矩阵C ,使得2(3)C a E A =+-
22. (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点,将该区间分成两段,较短的一段长度记作X ,较长的一段长度记作Y ,令Y Z X
= (1)求X 的概率密度
(2)求Z 的概率密度
(3)求X E Y ⎛⎫
⎪⎝⎭
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