2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题:1
10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，
2
3
(1)x t e -⎰
是7x 的 （  ）.
(A)低阶无穷小.    (B)等价无穷小.    (C)高阶无穷小.    (D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C .
【解析】因为当0x →时，2
3670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦
⎰，所以2
30(1)x t e -⎰是7x 的
高阶无穷小，正确答案是C .
（2）函数1
,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
，在0x =处（  ）
(A)连续且取极大值.        (B)连续且取极小值.  (C)可导且导数为0.        (D)可导且导数不为0.
【答案】D
【解析】因为001
lim ()lim 1(0)x x x e f x f x
→→-=-=，故()f x 在0x =处连续.
因为20001
1
()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2
f '=，故选D . (3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2/cm s ，3/cm s -，当底面半径为
10cm ，高为5cm ，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 （  ）. (A)3125/cm s π，240/cm s π. (B)3125/cm s π，240/cm s π-. (C)3100/cm s π-，240/cm s π. (D)3100/cm s π-，240/cm s π-.
【答案】C .
【解析】由题意知.
2dr dt =，3dh
dt
=-，又2V r h π=，222S rh r ππ=+. 则22dV dr dh rh r dt dt dt ππ=+，224dS dr dh dr h r r dt dt dt dt
πππ=++.
当10r =，5h =时，
100dV dt π=-，40dS
dt
π=，选C . (4)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则b
a
的取值范围 （  ）.
(A)(,)e +∞.        (B)(0,)e .        (C)1
(0,)e
.        (D)1(,)e +∞.
【答案】A .
【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()b
f x a x
'=-，令()0f x '=有驻点b x a =，
ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫
=⋅-⋅< ⎪⎝⎭
.从而ln 1b a >，可得b e a >，选A .
(5)设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则 （  ）.
(A)1a =，1
2
b =-.                (B)1a =，12b =.
(C)0a =，12b =-.              (D)0a =，1
2
b =.
【答案】D .
【解析】由2
2(0)()(0)(0)()2
f f x f f x x o x '''=+++知当()sec f x x =时，
(0)sec01f ==， (0)(sec tan )
00f x x x '===，23(0)(sec tan sec )
10
f x x x x ''=+==，则
221
()sec 1()2
f x x x o x ==++，选D .
（6）设函数(,)f x y 可微，且2
(1,)(1)x
f x e x x +=+，2
2
(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（  ）
(A)dx dy +.        (B)dx dy -.      (C)dy .        (D)dy -.
【答案】C
【解析】2
12(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++  ①
2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+  ②
分别将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩代入①②式有
12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=
联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故选C .
(7)设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1
()f x dx =⎰（  ）
(A)1211
lim 22n
x n k f n n →∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
(B )1211
l i m 2n
x n k f n n
→∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. (C)21
11lim 2n
x n k f n n →∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
.        (D)21
2lim 2n x n k f n n
→∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 【答案】B
【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数
1
1
211
()lim 2n
x n k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰
，即选B . (8)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依
次为（    ）
(A)2,0.        (B)1,1.      (C)2,1.        (D)1,2.
【答案】B
【解析】2
2
2
2
1231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++
所以011121110⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，故多项式11121(1)(3)11λλλλλλ---=---=+---E A .
令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故
选B .
(9)设3阶矩阵123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，若向量组123,,ααα可以由向量组
123,,βββ线性表出，则 （  ）.
(A)0x =A 的解均为0x =B 的解. (B)T 0x =A 的解均为T 0x =B 的解. (C)0x =B 的解均为0x =A 的解. (D)T 0x =B 的解均为T 0x =A 的解.
【答案】D
【解析】令123(,,)ααα=A ，123(,,)βββ=B ，由题意向量组123,,ααα可以由向量组
123,,βββ线性表出，即存在矩阵P ，使得=PB A ，则当T 0o x =B 时，
T T T T ()0o o o x x x ===A BP P B 恒成立，选D .
(10)已知矩阵101211125-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，
使PAQ 为
对角矩阵，则P ，Q 可分别取 （  ）.
(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭          (B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.
(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭        (D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
【答案】C .
【解析】
00011100000011111100(,)2111030030121121500121060000321121⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪
=-→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
----⎝
⎭⎝⎭⎝⎭A E
(,)=F P ，则100210321⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ；
0001
11
0300110000
010001
11000
3110
00011⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
F ΛE E ，101013001⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
考研时间2021考试时间
Q ，选C .
二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （11）2
+-3x x dx ∞
-∞
=⎰
_________。
【答案】
1
ln 3
【解析】2
2
2
2
+++2
-0
31
3
23
3
()3()0ln3ln3
t t x x x x t
x dx x dx d x d t =-∞
∞
∞
-
∞
---∞
-∞=⋅=--=-=-=
⎰
⎰
⎰⎰
(12)  设函数由参数方程2
210
4(1),0
t
t x e t x y t e t x ⎧=++<⎪⎨=-+≥⎪⎩
，
确定，则202|t d y
dx == _______________
【答案】
2
3
【解析]】由4221t t dy te t dx e +=
+，得223
(442)(21)(42)2(21)t t t t t
t d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =
代入得202|t d y dx == 2
3
（13）设函数(,)z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定，则(0,2)
z
x ∂=∂____。
【答案】1
【解析】原方程对x 求偏导，有：2
11
(1)
201(2)z z z x y y x z x xy ∂∂+++⋅-⋅=∂∂+ （1式）。 将0,2x y ==代入到原方程，有：2ln 11z z z +=⇒=。
将0,2,1x y z ===代入（1式），有：
1(0,2)z
x
∂=∂。 （14
）已知函数2
1
1
()t x f t dx dy y =⎰，则()2
f π
'=______。 【答案】
2
cos
2π
π
【解析】由于原来的积分兑y 好积分，故交换积分次序。
积分区域D
为：2{(,)1}D x y x t y t =≤≤≤≤，交换次序后：
2
1111
()sin (cos cos )t
y t x f t dy dx y y dy y y
==-⎰⎰⎰，对t 求导，有：
1
()(cos cos )f t t t t
'=-，则：()2f π'=2cos 2ππ。
（15）微分方程0y y '''-=的通解y =________。
【答案】12
123123(),,,x x
y C e e
C C C C C R -=++∈ 【解析】由特征方程3-1=0λ
得：12311=1,22λλλ-=-=-，故方程的通解为：
1
2
123123(),,,x x
y C e e
C C C C C R -=++∈。