关于数学和数学的本质特征
一、前言：什么是“数学”
在中国的第一次出现，“三曰六艺：礼、乐、射、御、书、数”《周礼·地官· 大司徒》——战国时代（约公元前475——公元前221）。
“数学是量的科学”——亚里士多德（古希腊，公元前384—公元前322） 。
“数学是间接度量的科学”——孔德（法，1789—1857） 。
“凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关”——笛卡儿（1596—1650）。
“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”，“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学”——恩格斯。
“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”——康托尔（184
5—1918）。
“纯粹的数学完全包含这样的论断，如果某命题对于某些事物是真的，那么另外的某命题对于那些事物就是真的。它根本不讨论第一个命题是否确实是真的。” “如果我们的假设是关于一般事物而不是某些特殊事物的话，那么我们的推论就构成了数学。这样的数学可以定义为一种科目，我们决不知道其中说的是什么，也不知道所说的是真还是假。”——罗素（1872—1970）。
“现代数学就是各种量之间的可能性的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”——亚历山大洛夫。
“数学这个领域已经被称作模式的科学（science of pattern），其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”——《振兴美国数学》
subjectionThe science of structure, order, and relation that has evolved from elemental practices of counting, measuring, and describing the shapes of objects.
数学是关于结构、规则和相互联系的科学，它从计算、测量和描述物体的形状等基本实
践中演变而来。
二、数学的本质特征
1.1公理化
把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。
每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：
①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；
②从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。
应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。
由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。
1.2公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。
古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的，概念是对象的反映，公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对
初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。
1.3公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的。
The effort to employ the formal structure and rigorous method of mathematics as a model for the conduct of philosophy. Mathematicism is manifested in Western philosophy in at least three ways: (1) General mathematical methods of investigation can be used to establish consistency of meaning and completeness of analysis. This is the revolutionary approach introduced in the first half of the 17th century by René Descartes. The perfection of this approach led to the Age of Analysis in the first half of the 20th century. (2) Descartes also pioneered the subjection of metaphysical systems, expressing the nature of ultimate reality, to axiomatization—i.e., to a procedure that deduces tenets from a set of basic axiom
s, on the model of Euclid's axiomatization of geometry. The method was elaborately used later in the 17th century by Benedict de Spinoza. (3) Calculi, or syntactic systems, on the model of mathematical logic, have been developed by several 20th-century analytic philosophers, among them Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, and Rudolf Carnap, to represent and to explicate philosophical systems, as well as to solve and to dissolve metaphysical problems.
Descartes gave four rules of method in philosophy based on mathematical procedure: (1) accept as true only indubitable (self-evident) propositions, (2) divide problems into parts, (3) work in order from simple to complex, and (4) make enumerations and reviews complete and general. When a philosopher approaches metaphysical problems in this way, it may appear to be natural or useful for him to organize his philosophical knowledge in the form of definitions, axioms, rules, and deduced theorems. In this way he can assure consistency of meaning, correctness of inference, and a systematic way to discover and to exhibit relationships.
（二）形式化 formalization
2.1形式化
公理系统的进一步形式化不仅可以有不同的解释，而且需要应用专门设计的人工符号语言，使一个理论更为精确化和严格化，也就是运用人工的表意符号语言陈述所要形式化的理论。这种人工语言称为形式语言。把一个理论形式化就是把理论中的概念转换为形式语言中的符号，命题转换为符号公式，定理的推演转换成符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列。形式语言的符号和它们所表示的概念之间的对应是确定的，符号公式的结构反映它们的意见。把一个理论形式化后，就可以暂时完全撇开原来理论中的概念、命题的意义，而只从语言符号、公式结构（符号组合的形状）方面研究。意义是抽象的，往往不容易精确理解和掌握。而符号和公式是有穷的具体的对象，能够对其作更精确、更严格的研究，从而通过对具体对象的研究把握抽象的东西。
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