一、知识点
1、垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
3、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；
二、考点点拨与训练
典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．
（1）尺规作图：在AB边上一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ADC．
方法或规律点拨
本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
2．（2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于( )
A．34° B．44° C．56° D．68°
5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
7．（2019·云南初三二模）如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．
8．（2020·四川成华初一期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若，的周长为13cm，则的周长为________.
9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点．
（1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC于 E，交直线 AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF．
11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M初二数学下册、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．
（1）根据作法判断直线DE为线段AC的 线；
（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．
考点2：线段垂直平分线的性质
典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
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